integralC(x^2+y^2+z^2) d s, onde C é dada por gamma(t)=(t, cos t, sin t) 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Então, temos que calcular a integral integralC(x^2+y^2+z^2) d s, onde a curva C é dada por gamma(t) = (t, cos t, sin t) para 0 <= t <= 2pi. Vou usar conceitos de cálculo de integrais ao longo de curvas no espaço tridimensional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é ds. Ele representa um pequeno segmento de arco na curva C. Para calcular ds, precisamos derivar gamma(t) em relação a t.
A derivada de gamma(t) é:
gamma'(t) = ( ddt t, ddt cos t, ddt sin t ) = (1, -sin t, cos t)

Passo 3

Agora, calculamos o comprimento do vetor derivada, que é |gamma'(t)|. Isso dá o nosso ds:
|gamma'(t)| = raiz1^2 + (-sin t)^2 + (cos t)^2 = raiz1 + sin^2 t + cos^2 t
Sabemos que sin^2 t + cos^2 t = 1, então:
|gamma'(t)| = raiz1 + 1 = raiz2

Passo 4

Vamos substituir x, y e z na função que vamos integrar pela parametrização da curva:
x(t) = t, y(t) = cos t, z(t) = sin t
Então, a expressão x^2 + y^2 + z^2 fica:
x^2 + y^2 + z^2 = t^2 + cos^2 t + sin^2 t = t^2 + 1

Passo 5

Agora, montamos a integral usando essas expressões:
integralC (x^2 + y^2 + z^2) ds = integral0^2pi (t^2 + 1) cdot raiz2 , dt

Passo 6

Vamos fatorar a constante raiz2 para facilitar a integração:
raiz2 integral0^2pi (t^2 + 1) dt

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
raiz2 [ integral0^2pi t^2 dt + integral0^2pi 1 dt ]
Calculando as integrais:
integral0^2pi t^2 dt = t^33 |0^2pi = (2pi)^33 - 0 = 8pi^33
integral0^2pi 1 dt = t |0^2pi = 2pi - 0 = 2pi

Passo 8

Substituindo de volta:
raiz2 ( 8pi^33 + 2pi ) = raiz2 ( 8pi^3 + 6pi3 )

Resposta

A integral vale:
raiz2 cdot 8pi^3 + 6pi3

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