, onde
é dada por
Passo 1
Então, temos que calcular a integral
, onde a curva
é dada por
para
. Vou usar conceitos de cálculo de integrais ao longo de curvas no espaço tridimensional para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Ele representa um pequeno segmento de arco na curva
. Para calcular
, precisamos derivar
em relação a
.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, calculamos o comprimento do vetor derivada, que é
. Isso dá o nosso
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na função que vamos integrar pela parametrização da curva:
Então, a expressão
fica:
Passo 5
Agora, montamos a integral usando essas expressões:
Passo 6
Vamos fatorar a constante
para facilitar a integração:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Calculando as integrais:
Passo 8
Substituindo de volta:
Resposta
A integral vale: