Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
$\left(0,75 ponto) 0,75 ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que analisar se a série numérica converge ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de séries infinitas, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão. Vamos usar esses testes para ver se a série se comporta de forma que some a um valor finito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão geral da série para facilitar a análise. A série é:
Podemos reescrever como . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos identificar se essa é uma série alternada. Série alternada é aquela em que os termos mudam de sinal a cada termo, o que é o caso aqui devido ao . Para séries alternadas, podemos usar o Teste da Série Alternada (também conhecido como Critério de Leibniz) para verificar a convergência.

Passo 4

O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma converge se duas condições forem atendidas:
  1. Os termos são decrescentes, ou seja, para todo a partir de algum índice.
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Neste caso, nosso é .

Passo 5

Vamos verificar a primeira condição: se é decrescente.
Observamos que é uma função decrescente porque , e à medida que aumenta, diminui. Apesar de crescer, o decrescimento exponencial de domina, fazendo com que seja decrescente para suficientemente grande.

Passo 6

Agora, vamos verificar a segunda condição: se .
Calculando o limite:
Sabemos que, para , para qualquer potência fixa . Neste caso, e , então:

Passo 7

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas é decrescente e , podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Série Alternada.

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