Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
$\left(0,75 ponto)
.
$\left(0,75 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que analisar se a série numérica
converge ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de séries infinitas, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão. Vamos usar esses testes para ver se a série se comporta de forma que some a um valor finito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão geral da série para facilitar a análise. A série é:
Podemos reescrever
como
. Assim, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos identificar se essa é uma série alternada. Série alternada é aquela em que os termos mudam de sinal a cada termo, o que é o caso aqui devido ao
. Para séries alternadas, podemos usar o Teste da Série Alternada (também conhecido como Critério de Leibniz) para verificar a convergência.
Passo 4
O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma
converge se duas condições forem atendidas:
- Os termos
são decrescentes, ou seja, para todo a partir de algum índice. - O limite de
quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Neste caso, nosso
é
.
Passo 5
Vamos verificar a primeira condição: se
é decrescente.
Observamos que
é uma função decrescente porque
, e à medida que
aumenta,
diminui. Apesar de
crescer, o decrescimento exponencial de
domina, fazendo com que
seja decrescente para
suficientemente grande.
Passo 6
Agora, vamos verificar a segunda condição: se
.
Calculando o limite:
Sabemos que, para
,
para qualquer potência fixa
. Neste caso,
e
, então:
Passo 7
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas
é decrescente e
, podemos concluir que a série converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Série Alternada.
Exercícios relacionados
Com base nessas informações e no Teorema 3 , faça o que se pede:
$(0,75 ponto) Seja , represente
como uma série de potências e determine o raio e a região de convergência resultantes.
Dica: Vide a Questão 6 resolvida em sala de aula e que foi adicionada a lista de exercícios IV.
$(0,75 ponto) Seja
Dica: Vide a Questão 6 resolvida em sala de aula e que foi adicionada a lista de exercícios IV.
Nos exercícios abaixo, verifique se a série converge absolutamente. Qual teste foi usado?
.
Encontre o centro de massa do fio dado pela curva
com a densidade
:
é o parte do circunferência do raio
no primeiro quadrante,
;
A função
é dada como uma função implícita. Encontre i)
; ii) a equação do plano tangente, iii) a equação da reta ortogonal nos pontos dados:
;