Nos exercícios abaixo, verifique se a série converge absolutamente. Qual teste foi usado? .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a série converge absolutamente. Isso significa que a gente precisa checar se a soma dos valores absolutos dos termos da série dá um resultado finito. Para resolver isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que é ótimo para séries com fatorial. Então, vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite da razão entre termos consecutivos. A fórmula é:
Se L < 1, a série converge absolutamente. Se L > 1, a série diverge. E se L = 1, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Agora, vamos identificar ak na nossa série. Aqui, temos:
ak = k!e^3 k
Então, ak+1 será:
ak+1 = (k+1)!e^3 (k+1) = (k+1)!e^3 k + 3
Passo 4
Vamos calcular a razão ak+1ak:
ak+1ak = (k+1)!e^3 k + 3 div k!e^3 k = (k+1)!k! cdot e^3 ke^3 k + 3
Simplificando isso:
ak+1ak = (k+1) cdot 1e^3 = k+1e^3
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando k tende ao infinito:
L = limk to infty k+1e^3
Como e^3 é uma constante, o limite se torna:
L = limk to infty (k+1)e^3 = inftye^3 = infty
Passo 6
Interpretando o resultado:
Como L = infty > 1, segundo o Teste da Razão, a série não converge absolutamente.
Resposta
A série sumk=1^infty k!e^3 knão converge absolutamente. Utilizamos o Teste da Razão para chegar a essa conclusão.