Nos exercícios abaixo, verifique se a série converge absolutamente. Qual teste foi usado?
sumk=1^infty k!e^3 k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a série sumk=1^infty k!e^3 k converge absolutamente. Isso significa que a gente precisa checar se a soma dos valores absolutos dos termos da série dá um resultado finito. Para resolver isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que é ótimo para séries com fatorial. Então, vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite da razão entre termos consecutivos. A fórmula é:
L = limk to infty | ak+1ak |
Se L < 1, a série converge absolutamente. Se L > 1, a série diverge. E se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos identificar ak na nossa série. Aqui, temos:
ak = k!e^3 k
Então, ak+1 será:
ak+1 = (k+1)!e^3 (k+1) = (k+1)!e^3 k + 3

Passo 4

Vamos calcular a razão ak+1ak:
ak+1ak = (k+1)!e^3 k + 3 div k!e^3 k = (k+1)!k! cdot e^3 ke^3 k + 3
Simplificando isso:
ak+1ak = (k+1) cdot 1e^3 = k+1e^3

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando k tende ao infinito:
L = limk to infty k+1e^3
Como e^3 é uma constante, o limite se torna:
L = limk to infty (k+1)e^3 = inftye^3 = infty

Passo 6

Interpretando o resultado:
Como L = infty > 1, segundo o Teste da Razão, a série não converge absolutamente.

Resposta

A série sumk=1^infty k!e^3 k não converge absolutamente. Utilizamos o Teste da Razão para chegar a essa conclusão.

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Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
$\left(0,75 ponto) 0,75 ponto
Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
$\left(0,5 ponto) 0,5 ponto.
Observação: Observe que vimos em sala de aula que trata-se da série de Maclaurin da função trigonométrica e a parte de determinar o raio e a região de convergência foi deixada como exercício.
Com base nessas informações e no Teorema 3 , faça o que se pede:
$(0,75 ponto) Seja 0.75 ponto seja, represente represente como uma série de potências e determine o raio e a região de convergência resultantes.
Dica: Vide a Questão 6 resolvida em sala de aula e que foi adicionada a lista de exercícios IV.
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