A função z=f(x, y) é dada como uma função implícita. Encontre i) partial zpartial x, partial zpartial y; ii) a equação do plano tangente, iii) a equação da reta ortogonal nos pontos dados: x^2+y^2-z^2=12, (3,2,1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de forma implícita pela equação e um ponto específico . Nosso objetivo é:
  1. Encontrar as derivadas parciais e .
  2. Determinar a equação do plano tangente nesse ponto.
  3. Escrever a equação da reta normal (ou ortogonal) nesse ponto.
Para isso, vamos precisar usar derivação implícita, entender como montar a equação da plano tangente e como encontrar a reta normal usando o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais x^2 + y^2 - z^2 = 12 e 2x + 0 - 2z partial zpartial x = 0 usando derivação implícita. A ideia é diferenciar ambos os lados da equação em relação a 2x = 2z partial zpartial x e partial zpartial x = xz .
Começando com a equação:
0 + 2y - 2z partial zpartial y = 0
Diferenciando em relação a 2y = 2z partial zpartial y :
partial zpartial y = yz
Agora, diferenciando em relação a :

Passo 3

Agora que temos as derivadas parciais, vamos calcular seus valores no ponto dado partial zpartial x = 31 = 3 .
Para partial zpartial y = 21 = 2 :
Para :

Passo 4

Vamos agora encontrar a equação do plano tangente no ponto z - z0 = partial zpartial x(x - x0) + partial zpartial y(y - y0) . A fórmula geral do plano tangente é:
z - 1 = 3(x - 3) + 2(y - 2)
Substituindo os valores que já calculamos:
z - 1 = 3x - 9 + 2y - 4
Simplificando:
z = 3x + 2y - 12

Passo 5

Por último, vamos determinar a equação da reta normal (ou ortogonal) ao plano tangente no ponto Direção = (3, 2, -1) . A reta normal tem a direção do vetor gradiente da função no ponto, que é dado por x = 3 + 3t y = 2 + 2t z = 1 - t .
Usando os valores das derivadas parciais:
çã
A equação paramétrica da reta é então:
onde é um parâmetro real.

Resposta

i) As derivadas parciais são x = 3 + 3t y = 2 + 2t z = 1 - t e .
ii) A equação do plano tangente no ponto é .
iii) A equação da reta normal no ponto dado é:
onde é um parâmetro real.

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