A função é dada como uma função implícita. Encontre i) ; ii) a equação do plano tangente, iii) a equação da reta ortogonal nos pontos dados: ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de forma implícita pela equação e um ponto específico . Nosso objetivo é:
Encontrar as derivadas parciais e .
Determinar a equação do plano tangente nesse ponto.
Escrever a equação da reta normal (ou ortogonal) nesse ponto.
Para isso, vamos precisar usar derivação implícita, entender como montar a equação da plano tangente e como encontrar a reta normal usando o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais e usando derivação implícita. A ideia é diferenciar ambos os lados da equação em relação a e .
Começando com a equação:
Diferenciando em relação a :
Agora, diferenciando em relação a :
Passo 3
Agora que temos as derivadas parciais, vamos calcular seus valores no ponto dado .
Para :
Para :
Passo 4
Vamos agora encontrar a equação do plano tangente no ponto . A fórmula geral do plano tangente é:
Substituindo os valores que já calculamos:
Simplificando:
Passo 5
Por último, vamos determinar a equação da reta normal (ou ortogonal) ao plano tangente no ponto . A reta normal tem a direção do vetor gradiente da função no ponto, que é dado por .
Usando os valores das derivadas parciais:
A equação paramétrica da reta é então:
onde é um parâmetro real.
Resposta
i) As derivadas parciais são x = 3 + 3t y = 2 + 2t z = 1 - t e .