Encontre o centro de massa do fio dado pela curva C com a densidade f(x, y) : C é o parte do circunferência do raio R = 2 no primeiro quadrante, f(x, y) = y^2;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o centro de massa de um fio que segue uma curva C, que é a parte do círculo de raio R = 2 no primeiro quadrante. A densidade do fio é dada por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados à mecânica dos corpos contínuos.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Como é parte de um círculo de raio 2 no primeiro quadrante, podemos usar coordenadas polares. O círculo completo é definido por:
Com theta variando de 0 a pi / 2 para cobrir o primeiro quadrante.

Passo 3

Substituindo R = 2, a parametrização fica:
Onde theta varia de 0 a pi / 2.

Passo 4

O centro de massa é dado por:
Aqui, representa o elemento de comprimento da curva.

Passo 5

Vamos calcular . Para nossa parametrização:
Portanto:

Passo 6

Vamos calcular o denominador comum das fórmulas do centro de massa, que é :
Sabemos que:
Aplicando os limites:

Passo 7

Vamos calcular :
Fazendo a substituição , :
Aplicando os limites:
Logo:

Passo 8

Agora, vamos calcular :
Sabemos que:
Aplicando os limites:
Logo:

Resposta

O centro de massa está no ponto .

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