Encontre o centro de massa do fio dado pela curva com a densidade : é o parte do circunferência do raio no primeiro quadrante, ;
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o centro de massa de um fio que segue uma curva , que é a parte do círculo de raio no primeiro quadrante. A densidade do fio é dada por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados à mecânica dos corpos contínuos.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como é parte de um círculo de raio 2 no primeiro quadrante, podemos usar coordenadas polares. O círculo completo é definido por:
Com variando de a para cobrir o primeiro quadrante.
Passo 3
Substituindo , a parametrização fica:
Onde varia de a .
Passo 4
O centro de massa é dado por:
Aqui, representa o elemento de comprimento da curva.
Passo 5
Vamos calcular . Para nossa parametrização:
Portanto:
Passo 6
Vamos calcular o denominador comum das fórmulas do centro de massa, que é :