Com base nessas informações e no Teorema 3 , faça o que se pede:
$(0,75 ponto) Seja 0.75 ponto seja, represente represente como uma série de potências e determine o raio e a região de convergência resultantes.
Dica: Vide a Questão 6 resolvida em sala de aula e que foi adicionada a lista de exercícios IV.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a função , definida por . O objetivo é representar essa função como uma série de potências e determinar o raio e a região de convergência dessa série. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências, especificamente a série geométrica e suas propriedades de derivação para encontrar a representação desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. Uma série de potências é uma expressão da forma:
onde são os coeficientes da série e é o centro da série. Neste caso, vamos trabalhar com uma série de potências centrada em , ou seja, uma série de potências em .
Sabemos que a série geométrica básica é:
Essa é uma ferramenta útil para construir a série de potências da função .

Passo 3

Observamos que a função pode ser relacionada à série geométrica básica. Vamos derivar ambos os lados da série geométrica para obter uma série que se assemelhe a .
Derivando a série geométrica em relação a :
Multiplicando ambos os lados por para ajustar os índices:
Portanto,
Assim, a série de potências para é:

Passo 4

Agora, precisamos determinar o raio e a região de convergência da série de potências encontrada. Sabemos que a série geométrica converge para . Como obtivemos a partir da série geométrica através de derivação, o raio de convergência permanece o mesmo.
Portanto, o raio de convergência é 1, e a região de convergência é:

Resposta

A função pode ser representada como a série de potências:
Com raio de convergência e região de convergência .

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