Com base nessas informações e no Teorema 3 , faça o que se pede:
$(0,75 ponto) Seja
, represente
como uma série de potências e determine o raio e a região de convergência resultantes.
Dica: Vide a Questão 6 resolvida em sala de aula e que foi adicionada a lista de exercícios IV.
$(0,75 ponto) Seja
Dica: Vide a Questão 6 resolvida em sala de aula e que foi adicionada a lista de exercícios IV.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a função
, definida por
. O objetivo é representar essa função como uma série de potências e determinar o raio e a região de convergência dessa série. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências, especificamente a série geométrica e suas propriedades de derivação para encontrar a representação desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. Uma série de potências é uma expressão da forma:
onde
são os coeficientes da série e
é o centro da série. Neste caso, vamos trabalhar com uma série de potências centrada em
, ou seja, uma série de potências em
.
Sabemos que a série geométrica básica é:
Essa é uma ferramenta útil para construir a série de potências da função
.
Passo 3
Observamos que a função
pode ser relacionada à série geométrica básica. Vamos derivar ambos os lados da série geométrica para obter uma série que se assemelhe a
.
Derivando a série geométrica em relação a
:
Multiplicando ambos os lados por
para ajustar os índices:
Portanto,
Assim, a série de potências para
é:
Passo 4
Agora, precisamos determinar o raio e a região de convergência da série de potências encontrada. Sabemos que a série geométrica
converge para
. Como obtivemos
a partir da série geométrica através de derivação, o raio de convergência permanece o mesmo.
Portanto, o raio de convergência
é 1, e a região de convergência é:
Resposta
A função
pode ser representada como a série de potências:
Com raio de convergência
e região de convergência
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios abaixo, verifique se a série converge absolutamente. Qual teste foi usado?
.
Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
$\left(0,75 ponto)
$\left(0,75 ponto)
Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
$\left(0,75 ponto) .
$\left(0,75 ponto)
Encontre o centro de massa do fio dado pela curva
com a densidade
:
é o parte do circunferência do raio
no primeiro quadrante,
;