Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
$\left(0,75 ponto) 0,75 ponto. (Dica: determine o raio e a região de convergência a partir do teste da raiz).

Passo 1

Beleza, vamos analisar a série . A matéria aqui é séries numéricas, especificamente sobre convergência de séries de potências. Para resolver isso, vamos usar o teste da raiz, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência e a região de convergência da série.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de forma mais clara. A expressão pode ser vista como . Então, nossa série fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teste da raiz, que diz que uma série converge se:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Para a série convergir, precisamos que:
Isso é o mesmo que:

Passo 5

Agora, vamos resolver a desigualdade . Sabemos que é a razão entre o seno e o cosseno:
A desigualdade significa que:
Isso acontece quando o ângulo está no primeiro e no terceiro quadrante, entre e , e periodicamente a cada radianos.

Passo 6

Portanto, o raio de convergência é 1, já que a série converge quando . A região de convergência é:
Isso significa que a série converge para valores de dentro desses intervalos ao redor de cada múltiplo de .

Resposta

A série converge para todos os valores de tais que está no intervalo mais qualquer múltiplo inteiro de . Ou seja, a região de convergência é:

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