Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
$\left(0,75 ponto)
. (Dica: determine o raio e a região de convergência a partir do teste da raiz).
$\left(0,75 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos analisar a série
. A matéria aqui é séries numéricas, especificamente sobre convergência de séries de potências. Para resolver isso, vamos usar o teste da raiz, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência e a região de convergência da série.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série de forma mais clara. A expressão
pode ser vista como
. Então, nossa série fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o teste da raiz, que diz que uma série
converge se:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Para a série convergir, precisamos que:
Isso é o mesmo que:
Passo 5
Agora, vamos resolver a desigualdade
. Sabemos que
é a razão entre o seno e o cosseno:
A desigualdade
significa que:
Isso acontece quando o ângulo
está no primeiro e no terceiro quadrante, entre
e
, e periodicamente a cada
radianos.
Passo 6
Portanto, o raio de convergência
é 1, já que a série converge quando
. A região de convergência é:
Isso significa que a série converge para valores de
dentro desses intervalos ao redor de cada múltiplo de
.
Resposta
A série
converge para todos os valores de
tais que
está no intervalo
mais qualquer múltiplo inteiro de
. Ou seja, a região de convergência é:
Exercícios relacionados
A função
é dada como uma função implícita. Encontre i)
; ii) a equação do plano tangente, iii) a equação da reta ortogonal nos pontos dados:
;
Encontre o centro de massa do fio dado pela curva
com a densidade
:
é o parte do circunferência do raio
no primeiro quadrante,
;
Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções:
.
Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
.