Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções: f(x, y) = (x^2 + y^2) * e^(-x^2 - y^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede pra encontrar os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente a análise de pontos críticos de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar onde elas são iguais a zero (pontos críticos) e então analisar a natureza desses pontos usando o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial em relação a :
Usando a regra do produto:
De maneira similar, a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde e . Observando as expressões das derivadas parciais:
Isso ocorre quando:
  1. e , ou
  2. , ou seja,
Portanto, temos ponto crítico em (0, 0) e uma circunferência de pontos críticos onde .

Passo 5

Vamos agora analisar cada caso para determinar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Caso 1: Ponto (0, 0)
Para saber a natureza desse ponto, usamos o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais e o discriminante :
No ponto (0,0):
O discriminante é:
Como e , o ponto (0,0) é um mínimo local.
Caso 2: Pontos na circunferência
Vamos analisar um ponto geral nessa circunferência. Substituindo nas segundas derivadas:
O discriminante fica:
Como , o teste da segunda derivada é inconclusivo. Porém, analisando a função, podemos observar que nesses pontos a função não apresenta um máximo ou mínimo local, mas sim pontos de sela.

Resposta

  • Mínimo local em
  • Pontos de sela em todos os pontos que satisfazem

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