Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede pra encontrar os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função
. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente a análise de pontos críticos de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar onde elas são iguais a zero (pontos críticos) e então analisar a natureza desses pontos usando o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial em relação a
:
Usando a regra do produto:
De maneira similar, a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde
e
. Observando as expressões das derivadas parciais:
Isso ocorre quando:
-
e , ou -
, ou seja,
Portanto, temos ponto crítico em (0, 0) e uma circunferência de pontos críticos onde
.
Passo 5
Vamos agora analisar cada caso para determinar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Caso 1: Ponto (0, 0)
Para saber a natureza desse ponto, usamos o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais e o discriminante
:
No ponto (0,0):
O discriminante é:
Como
e
, o ponto (0,0) é um mínimo local.
Caso 2: Pontos na circunferência
Vamos analisar um ponto geral nessa circunferência. Substituindo
nas segundas derivadas:
O discriminante fica:
Como
, o teste da segunda derivada é inconclusivo. Porém, analisando a função, podemos observar que nesses pontos a função não apresenta um máximo ou mínimo local, mas sim pontos de sela.
Resposta
- Mínimo local em
- Pontos de sela em todos os pontos que satisfazem
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;
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.
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