Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de série infinita usando o teste da integral! A questão pede para verificar se a série
converge ou não. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre integrais e séries e como elas se relacionam no teste da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série comparando-a com uma integral. Se a integral correspondente de uma função contínua, positiva e decrescente convergir, então a série também converge.
Passo 3
Vamos transformar a série em uma função contínua para aplicar o teste. Consideramos
. Agora, precisamos calcular a integral de
de 1 até o infinito:
Passo 4
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou
. Quando
,
e quando
tende ao infinito,
também tende ao infinito. Substituindo, temos:
Integrando:
Como a integral resulta em um valor finito (
), isso significa que a série também converge pelo teste da integral.
Resposta
A série
converge pelo teste da integral.
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.
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$\left(0,75 ponto) . (Dica: determine o raio e a região de convergência a partir do teste da raiz).
$\left(0,75 ponto)
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mais prossímios da origem.
Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:
.