Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência a partir do teste da integral.
$(0,75 ponto) 0.75 ponto (Questão da Lista IV).

Passo 1

Beleza, vamos analisar a série para ver se ela converge ou não. Para isso, vamos usar o Teste da Integral, que nos ajuda a determinar a convergência de séries comparando com integrais de funções contínuas, positivas e decrescentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que corresponde aos termos da série. Aqui, a função é . Essa função é positiva e decrescente para , então podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 3

Agora, vamos considerar a integral correspondente:
Vamos resolver essa integral para verificar se ela converge.

Passo 4

Sabemos que a integral de é uma forma padrão:
Então, aplicando os limites de integração:

Passo 5

Calculando os valores:
Então:
Como a integral resulta em , que é um valor finito, isso significa que a integral converge.

Resposta

Portanto, pela aplicação do Teste da Integral, a série converge.

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