Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência a partir do teste da integral.
$(0,75 ponto)
(Questão da Lista IV).
$(0,75 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos analisar a série
para ver se ela converge ou não. Para isso, vamos usar o Teste da Integral, que nos ajuda a determinar a convergência de séries comparando com integrais de funções contínuas, positivas e decrescentes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que corresponde aos termos da série. Aqui, a função é
. Essa função é positiva e decrescente para
, então podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 3
Agora, vamos considerar a integral correspondente:
Vamos resolver essa integral para verificar se ela converge.
Passo 4
Sabemos que a integral de
é uma forma padrão:
Então, aplicando os limites de integração:
Passo 5
Calculando os valores:
Então:
Como a integral resulta em
, que é um valor finito, isso significa que a integral converge.
Resposta
Portanto, pela aplicação do Teste da Integral, a série
converge.
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;
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g)
g)
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;
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$(1,25 pontos) (Questão da Lista IV).
$(1,25 pontos)