Encontre os comprimentos das curvas: (e^(-t) cos(t), e^(-t) sen(t), e^(-t)), 0 <= t <= +infinito;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva no espaço definida pelas funções paramétricas onde varia de 0 até o infinito. Nosso objetivo aqui é encontrar o comprimento dessa curva. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas no espaço tridimensional. Precisamos calcular as derivadas de cada componente em relação a e depois integrar a raiz da soma dos quadrados dessas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas de cada componente da curva em relação a .
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 3

Agora, vamos calcular a soma dos quadrados dessas derivadas:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Vamos simplificar cada termo:
Somando tudo:
Simplificando ainda mais:
Como , temos:

Passo 4

Agora que temos a soma dos quadrados das derivadas, vamos tirar a raiz quadrada para obter o elemento de comprimento da curva:

Passo 5

O próximo passo é integrar esse resultado de até para encontrar o comprimento total da curva:
Como é uma constante, podemos tirá-la da integral:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:

Resposta

Portanto, o comprimento da curva é:

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