Encontre os comprimentos das curvas:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva no espaço definida pelas funções paramétricas onde
varia de 0 até o infinito. Nosso objetivo aqui é encontrar o comprimento dessa curva. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas no espaço tridimensional. Precisamos calcular as derivadas de cada componente em relação a
e depois integrar a raiz da soma dos quadrados dessas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas de cada componente da curva em relação a
.
-
Para
: -
Para :
-
Para
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a soma dos quadrados dessas derivadas:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Vamos simplificar cada termo:
Somando tudo:
Simplificando ainda mais:
Como , temos:
Passo 4
Agora que temos a soma dos quadrados das derivadas, vamos tirar a raiz quadrada para obter o elemento de comprimento da curva:
Passo 5
O próximo passo é integrar esse resultado de
até
para encontrar o comprimento total da curva:
Como
é uma constante, podemos tirá-la da integral:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Resposta
Portanto, o comprimento da curva é:
Exercícios relacionados
Utilize o Teste da Razão para verificar a convergência ou divergência das séries:
g)
g)
Resolva:
h) ,
h)
Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência a partir do teste da integral.
$(0,75 ponto) (Questão da Lista IV).
$(0,75 ponto)
Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções:
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