Utilize o Teste da Razão para verificar a convergência ou divergência das séries:
g) sumn=1^+infty (-2)^nn^n

Passo 1

Nesse exercício, vamos usar o Teste da Razão para descobrir se a série converge ou diverge. O Teste da Razão é uma ferramenta matemática que nos ajuda a analisar o comportamento de séries infinitas, verificando como os termos se comportam à medida que cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Para uma série L = limn to +infty | an+1an | , calculamos o limite:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não nos dá uma resposta definitiva.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série:
an = (-2)^nn^n
Precisamos calcular an+1an = (-2)^n+1(n+1)^n+1 (-2)^nn^n = (-2) cdot ( nn+1 )^n cdot 1n+1 :

Passo 4

Vamos calcular o limite L = limn to +infty | an+1an | = limn to +infty 2 cdot ( nn+1 )^n cdot 1n+1 :
limn to +infty ( nn+1 )^n = 1e (onde e é a base do logaritmo natural)
Sabemos que:
limn to +infty 1n+1 = 0 é
E também:
L = 2 cdot 1e cdot 0 = 0
Portanto:

Passo 5

Como , pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge.

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Resolva:
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Calcule:
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