Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
$(1,25 pontos) (Questão da Lista IV).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir o raio e a região de convergência dessa série de potências aí: . Isso tá dentro do conteúdo de séries de potências, que envolve entender até onde a série “funciona” ou seja, onde ela converge. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a encontrar o raio de convergência, e depois analisar os extremos para definir a região completa de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão para achar o raio de convergência. Esse teste basicamente olha para o limite da razão entre termos consecutivos da série quando tende ao infinito. A fórmula geral é:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não funciona.
Passo 3
Vamos identificar na nossa série:
Agora, vamos calcular :
Agora, vamos tirar o módulo e calcular o limite:
Passo 4
Para a série convergir, precisamos que :
Resolvendo essa desigualdade:
Isso significa que:
Subtraindo 2 de todas as partes:
Portanto, o raio de convergência é 2, já que a distância do centro (-2) até os extremos é 2.
Passo 5
Agora, vamos determinar a região de convergência, ou seja, o intervalo completo onde a série converge. Já sabemos que o intervalo básico é . Mas precisamos verificar os extremos e para ver se a série também converge nesses pontos.
Para :
A série fica:
Essa é a série harmônica, que diverge.
Para :
A série fica:
Essa é a série alternada da harmônica, que converge (por causa do Teste da Série Alternada).
Resposta
O raio de convergência da série é 2, e a região de convergência é o intervalo .