Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções: f(x, y) = x * y * ln(x^2 + y^2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função . Aqui, vamos trabalhar com cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e testes de segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois igualá-las a zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
Usando a regra do produto:

Passo 4

Agora, calculando a derivada parcial em relação a :
Também aplicando a regra do produto:

Passo 5

Agora, vamos igualar ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Podemos observar que e são soluções potenciais. Vamos verificar esses casos.

Passo 6

Se , então substituindo na segunda equação:
Válido para qualquer . Mas substituindo na primeira equação:
Isso ocorre quando , pois é indefinido para , mas o limite tende a zero.
Se , de forma similar, encontramos .
Então, temos um único ponto crítico em .

Passo 7

Agora, vamos classificar esse ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Após calcular, obtemos:
O determinante do Hessiano no ponto crítico.

Passo 8

Quando , o teste da segunda derivada é inconclusivo. Portanto, precisamos analisar o comportamento da função perto de .
Observando a função , vemos que em torno de , o sinal de depende do produto . Se e tiverem o mesmo sinal, é positivo; se tiverem sinais opostos, é negativo. Isso indica que é um ponto de sela.

Resposta

A função possui um único ponto crítico em , que é um ponto de sela.

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