Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função
. Aqui, vamos trabalhar com cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e testes de segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e depois igualá-las a zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Usando a regra do produto:
Passo 4
Agora, calculando a derivada parcial em relação a
:
Também aplicando a regra do produto:
Passo 5
Agora, vamos igualar ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Podemos observar que
e
são soluções potenciais. Vamos verificar esses casos.
Passo 6
Se
, então substituindo na segunda equação:
Válido para qualquer
. Mas substituindo
na primeira equação:
Isso ocorre quando
, pois
é indefinido para
, mas o limite tende a zero.
Se
, de forma similar, encontramos
.
Então, temos um único ponto crítico em
.
Passo 7
Agora, vamos classificar esse ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Após calcular, obtemos:
O determinante do Hessiano
no ponto crítico.
Passo 8
Quando
, o teste da segunda derivada é inconclusivo. Portanto, precisamos analisar o comportamento da função perto de
.
Observando a função
, vemos que em torno de
, o sinal de
depende do produto
. Se
e
tiverem o mesmo sinal,
é positivo; se tiverem sinais opostos,
é negativo. Isso indica que
é um ponto de sela.
Resposta
A função
possui um único ponto crítico em
, que é um ponto de sela.
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;
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