Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
4. sumn=1^infty(n^1n-12)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisarmos se a série numérica converge ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de séries infinitas e aplicar testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série: . Precisamos descobrir o comportamento desse termo quando cresce, ou seja, o que acontece com ele à medida que vai para o infinito.

Passo 3

Sabemos que n^1n approx 1 + ln nn é equivalente a (n^1n - 12)^n approx (12 + ln nn)^n . Quando tende ao infinito, tende a zero, então se aproxima de 1. Assim, podemos simplificar:
Portanto, o termo geral fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar . À medida que cresce, se torna muito pequeno, então a expressão dentro do parêntese se aproxima de . Isso nos leva a considerar que o termo geral se comporta como .

Passo 5

Uma série que tem termos da forma é uma série geométrica com razão . Sabemos que uma série geométrica converge se . No nosso caso, , então a série geométrica converge.

Passo 6

Para confirmar que nossa série original também converge, podemos usar o Teste da Comparação. Como se comporta como e sabemos que a série com converge, então nossa série também converge.

Resposta

A série converge.

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