Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
4.
4.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisarmos se a série numérica
converge ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de séries infinitas e aplicar testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
. Precisamos descobrir o comportamento desse termo quando
cresce, ou seja, o que acontece com ele à medida que
vai para o infinito.
Passo 3
Sabemos que
é equivalente a
. Quando
tende ao infinito,
tende a zero, então
se aproxima de 1. Assim, podemos simplificar:
Portanto, o termo geral fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar
. À medida que
cresce,
se torna muito pequeno, então a expressão dentro do parêntese se aproxima de
. Isso nos leva a considerar que o termo geral se comporta como
.
Passo 5
Uma série que tem termos da forma
é uma série geométrica com razão
. Sabemos que uma série geométrica
converge se
. No nosso caso,
, então a série geométrica converge.
Passo 6
Para confirmar que nossa série original
também converge, podemos usar o Teste da Comparação. Como
se comporta como
e sabemos que a série com
converge, então nossa série também converge.
Resposta
A série
converge.
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Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funções. Determine os valores de
para os quais a série converge.
.
Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
3. .
3.
Sejam
, defina
por
, mostre que
.
Utilizando o exercício anterior prove que as sequências (
) abaixo são limitadas, onde
(a)
(a)