Utilizando o exercício anterior prove que as sequências ( a_n ) abaixo são limitadas, onde
(a) a_n = log(n)/n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a sequência é limitada. Isso significa que existe algum número real que sempre é maior ou igual aos termos dessa sequência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como limites e propriedades das funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento da sequência . À medida que aumenta, o numerador cresce, mas o denominador cresce mais rápido. Para ter uma ideia de como isso se comporta, podemos calcular alguns valores:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante.
Vemos que a sequência começa em 0, aumenta até certo ponto e depois começa a diminuir.

Passo 3

Para provar que a sequência é limitada, vamos encontrar o seu máximo. Calculamos a derivada de treatando como uma variável contínua :
Calculamos a derivada:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
(onde é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2.71828)
Isso nos mostra que a sequência atinge seu valor máximo quando . Como deve ser um número natural, o máximo ocorre para :

Passo 4

Agora que sabemos que o valor máximo da sequência ocorre próximo a e que esse valor é aproximadamente 0.3662, concluímos que todos os termos da sequência são menores ou iguais a esse valor. Além disso, já vimos que a sequência é sempre positiva.

Resposta

Então, a sequência é limitada, estando sempre entre 0 e aproximadamente 0.3662.

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