Utilizando o exercício anterior prove que as sequências (
) abaixo são limitadas, onde
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a sequência
é limitada. Isso significa que existe algum número real que sempre é maior ou igual aos termos dessa sequência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como limites e propriedades das funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento da sequência
. À medida que
aumenta, o numerador
cresce, mas o denominador
cresce mais rápido. Para ter uma ideia de como isso se comporta, podemos calcular alguns valores:
- Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante.
Vemos que a sequência começa em 0, aumenta até certo ponto e depois começa a diminuir.
Passo 3
Para provar que a sequência é limitada, vamos encontrar o seu máximo. Calculamos a derivada de
treatando
como uma variável contínua
:
Calculamos a derivada:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Isso nos mostra que a sequência atinge seu valor máximo quando
. Como
deve ser um número natural, o máximo ocorre para
:
Passo 4
Agora que sabemos que o valor máximo da sequência
ocorre próximo a
e que esse valor é aproximadamente 0.3662, concluímos que todos os termos da sequência são menores ou iguais a esse valor. Além disso, já vimos que a sequência é sempre positiva.
Resposta
Então, a sequência
é limitada, estando sempre entre 0 e aproximadamente 0.3662.
Exercícios relacionados
Sejam
, defina
por
, mostre que
.
Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
4.
4.
Descubra o que acontece com
, nos casos abaixo e justifique sua afirmação.
c)
c)
Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
2. .
2.