Sejam a, b>0, defina (xn) por xn=raiz[n]a^n+b^n, mostre que lim xn=max a, b.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois números positivos xn = raiz[n]a^n + b^n e limn to infty xn = maxa, b , e definimos uma sequência onde cada termo é dado por:
Queremos mostrar que, conforme cresce cada vez mais, o valor de se aproxima de , ou seja:
Para resolver isso, vamos analisar como e se comportam conforme aumenta e como isso afeta a expressão de .

Passo 2

Vamos supor, sem perder a generalidade, que limn to infty raiz[n]a^n + b^n = a . (Se for , a lógica será a mesma, apenas trocando os papéis de e ). Nosso objetivo é mostrar que:

Passo 3

Observe que podemos fatorar a^n + b^n = a^n (1 + (ba)^n) na expressão dentro da raiz:
Como , o termo é menor que 1. Portanto, tende a zero quando tende ao infinito.

Passo 4

Substituindo de volta na expressão de xn = raiz[n]a^n (1 + (ba)^n) = raiz[n]a^n cdot raiz[n]1 + (ba)^n :
raiz[n]1 + (ba)^n to 1 quando n to infty
Sabemos que . Além disso, como tende a zero, temos:

Passo 5

Portanto, juntando tudo:
limn to infty xn = a cdot 1 = a = maxa, b

Resposta

Assim, mostramos que:
limn to infty raiz[n]a^n + b^n = maxa, b

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