Sejam
, defina
por
, mostre que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois números positivos
e
, e definimos uma sequência
onde cada termo é dado por:
Queremos mostrar que, conforme
cresce cada vez mais, o valor de
se aproxima de
, ou seja:
Para resolver isso, vamos analisar como
e
se comportam conforme
aumenta e como isso afeta a expressão de
.
Passo 2
Vamos supor, sem perder a generalidade, que
. (Se for
, a lógica será a mesma, apenas trocando os papéis de
e
). Nosso objetivo é mostrar que:
Passo 3
Observe que podemos fatorar
na expressão dentro da raiz:
Como
, o termo
é menor que 1. Portanto,
tende a zero quando
tende ao infinito.
Passo 4
Substituindo de volta na expressão de
:
Sabemos que
. Além disso, como
tende a zero, temos:
Passo 5
Portanto, juntando tudo:
Resposta
Assim, mostramos que:
Exercícios relacionados
Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
4.
4.
Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funções. Determine os valores de
para os quais a série converge.
.
Utilizando o exercício anterior prove que as sequências (
) abaixo são limitadas, onde
(a)
(a)
Descubra o que acontece com
, nos casos abaixo e justifique sua afirmação.
c)
c)