Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
5. sumn=1^infty n!(2n)^n.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a série para ver se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil quando temos termos com fatorial e potências. Esse teste nos ajuda a entender o comportamento da série quando aumenta bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o termo geral da série, que é . Para aplicar o Teste da Razão, precisamos calcular o limite de quando tende ao infinito.

Passo 3

Vamos montar a razão entre an+1an = (n+1)! (2n+1)^n+1n! (2n)^n e (n+1)!n! = n+1 :
(2n+1)^n+1 div (2n)^n = (2n+1)^n+1 times (n2)^n = (2n+1 times n2)^n times 2n+1 = (nn+1)^n times 2n+1
Simplificando o fatorial:
an+1an = (n+1) times (nn+1)^n times 2n+1 = 2 (nn+1)^n
E simplificando as potências:
Então, a razão fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando limn to infty 2 (nn+1)^n = 2 limn to infty (1 - 1n+1)^n tende ao infinito:
limn to infty (1 - 1n)^n = 1e
Sabemos que:
2 times 1e = 2e approx 0,735
Portanto:

Resposta

Como , pelo Teste da Razão a série converge.

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