Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
5. .
Passo 1
Beleza, vamos analisar a série para ver se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil quando temos termos com fatorial e potências. Esse teste nos ajuda a entender o comportamento da série quando aumenta bastante.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o termo geral da série, que é . Para aplicar o Teste da Razão, precisamos calcular o limite de quando tende ao infinito.
Passo 3
Vamos montar a razão entre an+1an = (n+1)! (2n+1)^n+1n! (2n)^n e (n+1)!n! = n+1 :
(2n+1)^n+1 div (2n)^n = (2n+1)^n+1 times (n2)^n = (2n+1 times n2)^n times 2n+1 = (nn+1)^n times 2n+1
Simplificando o fatorial:
an+1an = (n+1) times (nn+1)^n times 2n+1 = 2 (nn+1)^n
E simplificando as potências:
Então, a razão fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando limn to infty 2 (nn+1)^n = 2 limn to infty (1 - 1n+1)^n tende ao infinito: