Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
3.
.
3.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série de potências dada por:
Nosso objetivo é determinar o raio de convergência dessa série e identificar a região onde a série converge. Para isso, vamos usar conceitos básicos de séries de potências e aplicar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz para encontrar o raio de convergência.
Passo 2
Vamos simplificar a série para facilitar os cálculos. Observamos que podemos reescrever a série mudando o índice de soma:
Agora, nossa série é da forma geral:
onde
.
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência ®, podemos usar o Teste da Raiz, que é adequado para séries de potências. O teste nos diz que:
Vamos calcular esse limite para a nossa série.
Passo 4
Substituindo
na fórmula:
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito.
Passo 5
Observamos que:
Portanto:
Passo 6
Aplicando o resultado no Teste da Raiz:
Então, o raio de convergência é 1.
Passo 7
Agora, vamos determinar a região de convergência, ou seja, os valores de
para os quais a série converge. Sabemos que a série converge para
, ou seja,
.
Mas também precisamos verificar os pontos finais
e
.
Passo 8
Para
:
A série se torna:
Esta é uma série p com
, que converge porque
.
Para
:
A série se torna:
Esta é uma série alternada que também converge porque os termos tendem a zero e decrescem em módulo.
Resposta
O raio de convergência da série é 1 e a região de convergência é o intervalo fechado
.
Exercícios relacionados
Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
5. .
5.
Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
2. .
2.
Encontre os valores de
para os quais a série
. converge e determine a soma.
Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência: