Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
3. sumn=0^infty x^n+1(n+1)^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série de potências dada por:
sumn=0^infty x^n+1(n+1)^2
Nosso objetivo é determinar o raio de convergência dessa série e identificar a região onde a série converge. Para isso, vamos usar conceitos básicos de séries de potências e aplicar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Vamos simplificar a série para facilitar os cálculos. Observamos que podemos reescrever a série mudando o índice de soma:
sumn=0^infty x^n+1(n+1)^2 = sumn=1^infty x^nn^2
Agora, nossa série é da forma geral:
sumn=1^infty an x^n
onde .

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência ®, podemos usar o Teste da Raiz, que é adequado para séries de potências. O teste nos diz que:
1R = limsupn to infty |an|^1/n
Vamos calcular esse limite para a nossa série.

Passo 4

Substituindo |an|^1/n = ( 1n^2 )^1/n = n^-2/n na fórmula:
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito.

Passo 5

Observamos que:
limn to infty n^-2/n = limn to infty e^-2 ln nn = e^0 = 1
Portanto:
limsupn to infty |an|^1/n = 1

Passo 6

Aplicando o resultado no Teste da Raiz:
1R = 1 implies R = 1
Então, o raio de convergência é 1.

Passo 7

Agora, vamos determinar a região de convergência, ou seja, os valores de para os quais a série converge. Sabemos que a série converge para , ou seja, .
Mas também precisamos verificar os pontos finais e .

Passo 8

Para sumn=1^infty 1n^2 :
A série se torna:
sumn=1^infty (-1)^nn^2
Esta é uma série p com , que converge porque .
Para :
A série se torna:
Esta é uma série alternada que também converge porque os termos tendem a zero e decrescem em módulo.

Resposta

O raio de convergência da série é 1 e a região de convergência é o intervalo fechado .

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