Encontre os valores de x>0 para os quais a série sumn=0^infty x^2 n. converge e determine a soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os valores de para os quais a série converge e também determinar a soma dessa série. Vamos usar o conceito de séries geométricas, que é a parte da matemática que nos ajuda a resolver isso. Para isso, precisamos identificar a razão da série e aplicar os critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a série sumn=0^infty ar^n é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
a = 1 (quando n=0, x^2 cdot 0 = x^0 = 1)
onde r = x^2 é o primeiro termo e é a razão da série. No nosso caso, comparando com a forma geral, temos:

Passo 3

Agora, para que uma série geométrica converja, a razão |r| < 1 deve satisfazer a condição:
|x^2| < 1
Substituindo x^2 < 1 pela nossa expressão, temos:
Como , podemos simplificar os valores absolutos:

Passo 4

Resolvendo a desigualdade x^2 < 1 implies x < 1 :
0 < x < 1
Como já está dado no enunciado, combinando as duas condições, temos:
Portanto, a série converge para valores de entre 0 e 1.

Passo 5

Agora que sabemos para quais valores de S = a1 - r a série converge, vamos determinar a soma da série. A soma de uma série geométrica infinita S = 11 - x^2 é dada por:
Substituindo e :

Resposta

A série S = 11 - x^2 converge para todos os valores de no intervalo e sua soma é:

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