Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu pra gente analisar se a série numérica converge ou não. Isso faz parte do conteúdo de Séries Numéricas na matemática, especificamente sobre Convergência de Séries Alternadas. Vamos precisar usar alguns testes de convergência e entender um pouquinho sobre séries telescópicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série alternada. Essa série tem termos que mudam de sinal de positivo para negativo, por causa do . Para analisar a convergência, podemos usar o Teste da Série Alternada, que verifica se os termos diminuem de valor absoluto e se tendem a zero.
Passo 3
Vamos olhar para o termo geral da série sem considerar o sinal alternado: . Precisamos ver se esse termo tende a zero quando cresce. Calculando o limite:
Como o limite é zero, a primeira condição do teste está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar se os termos estão diminuindo conforme aumenta. Observando que:
Isso mostra que os termos estão realmente diminuindo. Então, a segunda condição do teste também está satisfeita.
Passo 5
Como as duas condições do Teste da Série Alternada foram atendidas, podemos concluir que a série converge.
Passo 6
Mas espera, vamos além! Vamos verificar se a série converge absolutamente. Para isso, analisamos a série com os valores absolutos dos termos:
Essa série é telescópica, porque pode ser reescrita como:
sumn=1^infty ( 1n - 1n+1 )
Somando os termos, percebemos que a série converges para 1. Portanto, a série original também converge absolutamente.