Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
8. ( ) A série harmônica e a série harmônica alternada são divergentes.
8. ( ) A série harmônica e a série harmônica alternada são divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo pra gente julgar se a afirmação “A série harmônica e a série harmônica alternada são divergentes” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são essas séries e o que significa elas serem divergentes. Vamos precisar usar conceitos de séries infinitas e critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a série harmônica. Ela é representada por:
Essa série é famosa porque, mesmo os termos ficando cada vez menores, a soma total cresce sem limite. Usamos o Teste da Comparação ou o Teste do Integral para determinar se uma série diverge ou converge. No caso da série harmônica, sabemos que ela diverge, ou seja, não tem uma soma finita.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a série harmônica alternada, que é:
Essa série alterna sinais positivos e negativos. Para determinar a convergência dessa série, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos a_n diminuem de tamanho e tendem a zero, a série converge. No caso da série harmônica alternada, os termos
diminuem e tendem a zero, então essa série converge.
Passo 4
Resumindo:
- Série harmônica: Diverge.
- Série harmônica alternada: Converge.
Portanto, a afirmação de que ambas as séries são divergentes é falsa.
Resposta
Falso. A série harmônica diverge, mas a série harmônica alternada converge.
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