Analise o sinal das funções abaixo:

Passo 1

Vamos analisar o sinal da função . Esse exercício pertence ao conteúdo de Álgebra, mais especificamente à análise de sinais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar identificar os valores que tornam o numerador e o denominador da função iguais a zero, além de considerar o domínio da função.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função . O denominador não pode ser zero, pois isso tornaria a função indefinida. Então, resolvemos:
Portanto, o domínio da função é todos os números reais, exceto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores que anulam o numerador . Para isso, resolvemos a equação quadrática:
Podemos fatorar essa expressão:
Então, as raízes são:

Passo 4

Temos, então, três pontos críticos que dividem a reta real em intervalos para analisarmos o sinal da função :
  1. (onde a função é indefinida)
Vamos analisar cada intervalo:
  • Intervalo 1:
  • Intervalo 2:
  • Intervalo 3:
  • Intervalo 4:

Passo 5

Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e determinar o sinal da função.
  • Intervalo 1:
  • Intervalo 2:
  • Intervalo 3:
  • Intervalo 4:

Passo 6

Com base nos sinais obtidos em cada intervalo, podemos construir a tabela de sinais da função:

Resposta

A função é negativa nos intervalos e , e positiva nos intervalos e .

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Em cada item, verifique se o limite existe. Em caso afirmativo, calcule-o. Em caso negativo, justifique.
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Avalie os limites a seguir indicando todas as propriedades utilizadas: