Analise o sinal das funções abaixo:
Passo 1
Vamos analisar o sinal da função
. Esse exercício pertence ao conteúdo de Álgebra, mais especificamente à análise de sinais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar identificar os valores que tornam o numerador e o denominador da função iguais a zero, além de considerar o domínio da função.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função
. O denominador não pode ser zero, pois isso tornaria a função indefinida. Então, resolvemos:
Portanto, o domínio da função é todos os números reais, exceto
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores que anulam o numerador
. Para isso, resolvemos a equação quadrática:
Podemos fatorar essa expressão:
Então, as raízes são:
Passo 4
Temos, então, três pontos críticos que dividem a reta real em intervalos para analisarmos o sinal da função
:
-
-
(onde a função é indefinida) -
Vamos analisar cada intervalo:
- Intervalo 1:
- Intervalo 2:
- Intervalo 3:
- Intervalo 4:
Passo 5
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e determinar o sinal da função.
-
Intervalo 1:
-
Intervalo 2:
-
Intervalo 3:
-
Intervalo 4:
Passo 6
Com base nos sinais obtidos em cada intervalo, podemos construir a tabela de sinais da função:
Resposta
A função
é negativa nos intervalos
e
, e positiva nos intervalos
e
.
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Em cada item, verifique se o limite existe. Em caso afirmativo, calcule-o. Em caso negativo, justifique.
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Avalie os limites a seguir indicando todas as propriedades utilizadas: