Em cada item, verifique se o limite existe. Em caso afirmativo, calcule-o. Em caso negativo, justifique.
(d) lim x -8 raiz[3]x+2x+8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o limite
limx -8 raiz[3]x + 2x + 8
existe. Se existir, a gente calcula o valor. Pra isso, vamos usar conhecimentos de limites e manipulação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raiz[3]-8 + 2-8 + 8 = -2 + 20 = 00 na expressão para ver o que acontece:
Obtivemos uma forma indeterminada , o que significa que a gente precisa simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Sabemos que y + 2y^3 + 8 é a raiz cúbica de y^3 + 8 = (y + 2)(y^2 - 2y + 4) , então y + 2(y + 2)(y^2 - 2y + 4) = 1y^2 - 2y + 4 . Vamos chamar , então . A expressão original fica:
Percebi que é uma soma de cubos, que podemos fatorar usando a fórmula . Aqui, e :
Então, a expressão fica:
Desde que , que é o caso quando .

Passo 4

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo 1(-2)^2 - 2(-2) + 4 = 14 + 4 + 4 = 112 :

Resposta

O limite existe e é igual a .

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