Analise a situação abaixo:
Considerando a situação apresentada, avalie a seguintes asserções e a relação proposta entre elas.
I. A soma dos limites da situação será 0 .
PORQUE
II. O primeiro limite resultará em uma indefinição, sendo necessária a regra de L
A respeito destas asserções, assinale a opção correta.
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- A asserção I é uma proposição falsa e, a ll é uma proposição verdadeira.
- As asserções I e II são proposições falsas.
- As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
- A asserção I é uma proposição verdadeira e, a ll é uma proposição falsa.
- As asserciß̧ol̀
es I e II sal̀
o proposici̇ol̀
es verdadeiras, e a II el
uma justificativa da I.
I. A soma dos limites da situação será 0 .
A respeito destas asserções, assinale a opção correta.
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Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma expressão com dois limites:
Além disso, precisamos avaliar duas afirmações sobre esses limites e ver qual das opções fornecidas está correta. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites no infinito e aplicar a regra de L’Hospital quando necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular cada limite separadamente.
Começando com o primeiro limite:
À medida que
cresce,
cresce muito mais rápido que
. Portanto, intuitivamente, esse limite tende a zero. Para confirmar isso, podemos usar a regra de L’Hospital, que é útil quando temos uma forma indeterminada do tipo
.
Aplicando a Regra de L’Hospital:
Derivamos o numerador e o denominador:
- Derivada de
é 1. - Derivada de
é .
Então, o limite fica:
Então, o primeiro limite é igual a zero.
Passo 3
Agora, vamos calcular o segundo limite:
À medida que
cresce,
também tende ao infinito, então
tende a zero. Portanto:
Passo 4
Com os dois limites calculados, vamos somá-los conforme a expressão inicial:
Portanto, a soma dos limites é igual a zero.
Passo 5
Agora, vamos avaliar as afirmações:
I. A soma dos limites da situação será 0.
Isso está correto, conforme calculamos.
Isso está correto, conforme calculamos.
II. O primeiro limite resultará em uma indefinição, sendo necessária a regra de L’Hospital.
De fato, o primeiro limite apresenta uma forma indeterminada , e usamos a regra de L’Hospital para resolvê-lo.
De fato, o primeiro limite apresenta uma forma indeterminada
Passo 6
Analisando as opções:
- A asserção I é uma proposição verdadeira e, a II é uma proposição verdadeira.
- As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
A segunda opção está mais alinhada com o que vimos. Ambas as afirmações são verdadeiras, mas a segunda não justifica a primeira, pois a soma dos limites sendo zero não depende apenas de um dos limites.
Resposta
- As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
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Calcule
, onde
é a região plana interior à circunferência
, com
.
Analise o limite abaixo:
Resolvendo-o, chega-se em:
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-
- -3
-
- 0
- 3
Calcule
, onde W é a região contida dentro do cilindro
e entre os planos
e
.
Expresse a integral
dzdydx como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas e calcule a integral obtida.
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