Analise a situação abaixo:
Considerando a situação apresentada, avalie a seguintes asserções e a relação proposta entre elas.
I. A soma dos limites da situação será 0 .

PORQUE

II. O primeiro limite resultará em uma indefinição, sendo necessária a regra de L
A respeito destas asserções, assinale a opção correta.
Clique na sua resposta abaixo
  • A asserção I é uma proposição falsa e, a ll é uma proposição verdadeira.
  • As asserções I e II são proposições falsas.
  • As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
  • A asserção I é uma proposição verdadeira e, a ll é uma proposição falsa.
  • As asserciß̧ol̀ es I e II sal̀ o proposici̇ol̀ es verdadeiras, e a II el uma justificativa da I.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma expressão com dois limites:
Além disso, precisamos avaliar duas afirmações sobre esses limites e ver qual das opções fornecidas está correta. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites no infinito e aplicar a regra de L’Hospital quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular cada limite separadamente.
Começando com o primeiro limite:
À medida que cresce, cresce muito mais rápido que . Portanto, intuitivamente, esse limite tende a zero. Para confirmar isso, podemos usar a regra de L’Hospital, que é útil quando temos uma forma indeterminada do tipo .
Aplicando a Regra de L’Hospital:
Derivamos o numerador e o denominador:
  • Derivada de é 1.
  • Derivada de é .
Então, o limite fica:
Então, o primeiro limite é igual a zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular o segundo limite:
À medida que cresce, também tende ao infinito, então tende a zero. Portanto:

Passo 4

Com os dois limites calculados, vamos somá-los conforme a expressão inicial:
Portanto, a soma dos limites é igual a zero.

Passo 5

Agora, vamos avaliar as afirmações:
I. A soma dos limites da situação será 0.
Isso está correto, conforme calculamos.
II. O primeiro limite resultará em uma indefinição, sendo necessária a regra de L’Hospital.
De fato, o primeiro limite apresenta uma forma indeterminada , e usamos a regra de L’Hospital para resolvê-lo.

Passo 6

Analisando as opções:
  • A asserção I é uma proposição verdadeira e, a II é uma proposição verdadeira.
  • As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
A segunda opção está mais alinhada com o que vimos. Ambas as afirmações são verdadeiras, mas a segunda não justifica a primeira, pois a soma dos limites sendo zero não depende apenas de um dos limites.

Resposta

  • As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.

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  • 3
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