Expresse a integral integral0^2 integral0^raiz4-x^2 integral0^4 raiz1+x^2+y^2 dzdydx como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas e calcule a integral obtida.
Dica: integral x raiz1+x^2 d x=13(1+x^2)^3 / 2+c

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa transformar a integral tripla dada em coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas e depois calcular essa nova integral. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais múltiplas e mudança de coordenadas, especificamente para coordenadas cilíndricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para cilíndricas, ajustar os limites de integração e aplicar a fórmula adequada para a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cartesianas, temos as variáveis x = r costheta, y = r sintheta, z = z , e . Já em coordenadas cilíndricas, a gente usa (raio), (ângulo) e . A relação entre elas é:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função raiz1 + x^2 + y^2 = raiz1 + r^2 cos^2theta + r^2 sin^2theta = raiz1 + r^2 (cos^2theta + sin^2theta) = raiz1 + r^2 em termos de coordenadas cilíndricas. Substituindo e :
Então, a função simplifica para .

Passo 4

Vamos ajustar os limites de integração. Observando os limites originais:
  • varia de 0 a 2.
  • varia de 0 a .
  • varia de 0 a 4.
Em coordenadas cilíndricas:
  • varia de 0 a 2 (raio máximo).
  • varia de 0 a (já que e são não negativos).
  • continua variando de 0 a 4.

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral0^pi2 integral0^2 integral0^4 raiz1 + r^2 cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, vem do elemento de volume .

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integraremos em relação a integral0^4 raiz1 + r^2 cdot r , dz = raiz1 + r^2 cdot r cdot [ z ]0^4 = 4r raiz1 + r^2 :

Passo 7

Agora, nossa integral fica:
integral0^pi2 integral0^2 4r raiz1 + r^2 , dr , dtheta
Vamos tirar o 4 para fora da integral:
4 integral0^pi2 integral0^2 r raiz1 + r^2 , dr , dtheta

Passo 8

Vamos resolver a integral em integral r raiz1 + r^2 , dr = 13 (1 + r^2)^32 + C . Usamos a substituição indicada na dica:
[ 13 (1 + r^2)^32 ]0^2 = 13 (1 + 4)^32 - 13 (1)^32 = 13 cdot 5^32 - 13 = 13 (5raiz5 - 1)
Aplicando os limites de 0 a 2:

Passo 9

Substituindo de volta na integral:
4 integral0^pi2 ( 13 (5raiz5 - 1) ) dtheta = 43 (5raiz5 - 1) integral0^pi2 dtheta
A integral de 43 (5raiz5 - 1) cdot pi2 = 2pi3 (5raiz5 - 1) de 0 a é simplesmente :

Resposta

A integral tripla em coordenadas cilíndricas é igual a:
2pi3 (5raiz5 - 1)

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