Expresse a integral
dzdydx como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas e calcule a integral obtida.
Dica:
Dica:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa transformar a integral tripla dada em coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas e depois calcular essa nova integral. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais múltiplas e mudança de coordenadas, especificamente para coordenadas cilíndricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para cilíndricas, ajustar os limites de integração e aplicar a fórmula adequada para a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cartesianas, temos as variáveis
,
e
. Já em coordenadas cilíndricas, a gente usa
(raio),
(ângulo) e
. A relação entre elas é:
Além disso, o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é dado por
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função
em termos de coordenadas cilíndricas. Substituindo
e
:
Então, a função simplifica para
.
Passo 4
Vamos ajustar os limites de integração. Observando os limites originais:
-
varia de 0 a 2. -
varia de 0 a . -
varia de 0 a 4.
Em coordenadas cilíndricas:
-
varia de 0 a 2 (raio máximo). -
varia de 0 a (já que e são não negativos). -
continua variando de 0 a 4.
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui,
vem do elemento de volume
.
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integraremos em relação a
:
Passo 7
Agora, nossa integral fica:
Vamos tirar o 4 para fora da integral:
Passo 8
Vamos resolver a integral em
. Usamos a substituição indicada na dica:
Aplicando os limites de 0 a 2:
Passo 9
Substituindo de volta na integral:
A integral de
de 0 a
é simplesmente
:
Resposta
A integral tripla em coordenadas cilíndricas é igual a:
Exercícios relacionados
Calcule
, onde W é a região contida dentro do cilindro
e entre os planos
e
.
Analise a situação abaixo:
Considerando a situação apresentada, avalie a seguintes asserções e a relação proposta entre elas.
I. A soma dos limites da situação será 0 .
I. A soma dos limites da situação será 0 .
PORQUE
II. O primeiro limite resultará em uma indefinição, sendo necessária a regra de L
A respeito destas asserções, assinale a opção correta.
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A respeito destas asserções, assinale a opção correta.
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- A asserção I é uma proposição falsa e, a ll é uma proposição verdadeira.
- As asserções I e II são proposições falsas.
- As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
- A asserção I é uma proposição verdadeira e, a ll é uma proposição falsa.
- As asserciß̧ol̀
es I e II sal̀ o proposici̇ol̀ es verdadeiras, e a II el uma justificativa da I.
Considere a situação abaixo:
Calculando-a chegamos em:
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- -2
- 2
- 0
-
-
Use coordenadas polares para calcular