Expresse a integral dzdydx como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas e calcule a integral obtida.
Dica:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa transformar a integral tripla dada em coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas e depois calcular essa nova integral. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais múltiplas e mudança de coordenadas, especificamente para coordenadas cilíndricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para cilíndricas, ajustar os limites de integração e aplicar a fórmula adequada para a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cartesianas, temos as variáveis , e . Já em coordenadas cilíndricas, a gente usa (raio), (ângulo) e . A relação entre elas é:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função em termos de coordenadas cilíndricas. Substituindo e :
Então, a função simplifica para .

Passo 4

Vamos ajustar os limites de integração. Observando os limites originais:
  • varia de 0 a 2.
  • varia de 0 a .
  • varia de 0 a 4.
Em coordenadas cilíndricas:
  • varia de 0 a 2 (raio máximo).
  • varia de 0 a (já que e são não negativos).
  • continua variando de 0 a 4.

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, vem do elemento de volume .

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integraremos em relação a :

Passo 7

Agora, nossa integral fica:
Vamos tirar o 4 para fora da integral:

Passo 8

Vamos resolver a integral em . Usamos a substituição indicada na dica:
Aplicando os limites de 0 a 2:

Passo 9

Substituindo de volta na integral:
A integral de de 0 a é simplesmente :

Resposta

A integral tripla em coordenadas cilíndricas é igual a:

Exercícios relacionados

Calcule , onde W é a região contida dentro do cilindro e entre os planos e .
Analise a situação abaixo:
Considerando a situação apresentada, avalie a seguintes asserções e a relação proposta entre elas.
I. A soma dos limites da situação será 0 .

PORQUE

II. O primeiro limite resultará em uma indefinição, sendo necessária a regra de L
A respeito destas asserções, assinale a opção correta.
Clique na sua resposta abaixo
  • A asserção I é uma proposição falsa e, a ll é uma proposição verdadeira.
  • As asserções I e II são proposições falsas.
  • As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
  • A asserção I é uma proposição verdadeira e, a ll é uma proposição falsa.
  • As asserciß̧ol̀ es I e II sal̀ o proposici̇ol̀ es verdadeiras, e a II el uma justificativa da I.
Considere a situação abaixo:
Calculando-a chegamos em:
Clique na sua resposta abaixo
  • -2
  • 2
  • 0
Use coordenadas polares para calcular