Calcule
, onde W é a região contida dentro do cilindro
e entre os planos
e
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de
sobre a região
. A região
está dentro do cilindro
e entre os planos
e
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para lidar com cilindros e simetrias circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é descrito por
, onde:
-
é a distância do ponto ao eixo , -
é o ângulo em torno do eixo , -
é a mesma altura nas coordenadas cartesianas.
A relação entre as coordenadas cartesianas
e cilíndricas é:
Passo 3
Vamos reescrever a função que vamos integrar e a região
em coordenadas cilíndricas. A função
se torna simplesmente
nas coordenadas cilíndricas.
A equação do cilindro
se transforma em
, ou seja,
.
Os limites para
já estão dados diretamente:
.
Passo 4
Agora, determinamos os limites de integração para cada variável:
-
varia de até (já que é o raio do cilindro), -
varia de até (um círculo completo), -
varia de até .
Também lembramos que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 5
Agora montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Simplificando, temos:
Passo 6
Vamos resolver a integral mais interna primeiro, em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral e integramos em relação a
:
Integrando em
:
Passo 8
Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.