Calcule integral triplaW raizx^2+y^2 dV, onde W é a região contida dentro do cilindro x^2+y^2=4 e entre os planos z=1 e z=4.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de raizx^2+y^2 sobre a região W. A região W está dentro do cilindro x^2+y^2=4 e entre os planos z=1 e z=4. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para lidar com cilindros e simetrias circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é descrito por (r, theta, z), onde:
  • r é a distância do ponto ao eixo z,
  • theta é o ângulo em torno do eixo z,
  • z é a mesma altura nas coordenadas cartesianas.
A relação entre as coordenadas cartesianas (x, y, z) e cilíndricas é:
x = rcostheta y = rsintheta z = z

Passo 3

Vamos reescrever a função que vamos integrar e a região W em coordenadas cilíndricas. A função raizx^2+y^2 se torna simplesmente r nas coordenadas cilíndricas.
A equação do cilindro x^2+y^2=4 se transforma em r^2=4, ou seja, r=2.
Os limites para z já estão dados diretamente: 1 <= z <= 4.

Passo 4

Agora, determinamos os limites de integração para cada variável:
  • r varia de 0 até 2 (já que r=2 é o raio do cilindro),
  • theta varia de 0 até 2pi (um círculo completo),
  • z varia de 1 até 4.
Também lembramos que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é r , dr , dtheta , dz.

Passo 5

Agora montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaW raizx^2+y^2 , dV = integral0^2pi integral0^2 integral1^4 r cdot r , dz , dr , dtheta
Simplificando, temos:
integral0^2pi integral0^2 integral1^4 r^2 , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral mais interna primeiro, em relação a z:
integral1^4 r^2 , dz = r^2 cdot (4 - 1) = 3r^2

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral e integramos em relação a r:
integral0^2pi integral0^2 3r^2 , dr , dtheta
Integrando em r:
3 integral0^2pi [ r^33 ]0^2 dtheta = 3 integral0^2pi ( 83 - 0 ) dtheta = 8 integral0^2pi dtheta

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a theta:
8 cdot [ theta ]0^2pi = 8 cdot (2pi - 0) = 16pi

Resposta

O valor da integral tripla é 16pi.

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