Calcule , onde W é a região contida dentro do cilindro e entre os planos e .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de sobre a região . A região está dentro do cilindro e entre os planos e . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para lidar com cilindros e simetrias circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é descrito por , onde:
  • é a distância do ponto ao eixo ,
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • é a mesma altura nas coordenadas cartesianas.
A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:

Passo 3

Vamos reescrever a função que vamos integrar e a região em coordenadas cilíndricas. A função se torna simplesmente nas coordenadas cilíndricas.
A equação do cilindro se transforma em , ou seja, .
Os limites para já estão dados diretamente: .

Passo 4

Agora, determinamos os limites de integração para cada variável:
  • varia de até (já que é o raio do cilindro),
  • varia de até (um círculo completo),
  • varia de até .
Também lembramos que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 5

Agora montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Simplificando, temos:

Passo 6

Vamos resolver a integral mais interna primeiro, em relação a :

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral e integramos em relação a :
Integrando em :

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

Analise a situação abaixo:
Considerando a situação apresentada, avalie a seguintes asserções e a relação proposta entre elas.
I. A soma dos limites da situação será 0 .

PORQUE

II. O primeiro limite resultará em uma indefinição, sendo necessária a regra de L
A respeito destas asserções, assinale a opção correta.
Clique na sua resposta abaixo
  • A asserção I é uma proposição falsa e, a ll é uma proposição verdadeira.
  • As asserções I e II são proposições falsas.
  • As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
  • A asserção I é uma proposição verdadeira e, a ll é uma proposição falsa.
  • As asserciß̧ol̀ es I e II sal̀ o proposici̇ol̀ es verdadeiras, e a II el uma justificativa da I.
Calcule , onde é a região plana interior à circunferência , com .
Expresse a integral dzdydx como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas e calcule a integral obtida.
Dica:
Considere a situação abaixo:
Calculando-a chegamos em:
Clique na sua resposta abaixo
  • -2
  • 2
  • 0