Calcule
, onde W é a região contida dentro do cilindro
e entre os planos
e
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de
sobre a região
. A região
está dentro do cilindro
e entre os planos
e
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para lidar com cilindros e simetrias circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é descrito por
, onde:
-
é a distância do ponto ao eixo , -
é o ângulo em torno do eixo , -
é a mesma altura nas coordenadas cartesianas.
A relação entre as coordenadas cartesianas
e cilíndricas é:
Passo 3
Vamos reescrever a função que vamos integrar e a região
em coordenadas cilíndricas. A função
se torna simplesmente
nas coordenadas cilíndricas.
A equação do cilindro
se transforma em
, ou seja,
.
Os limites para
já estão dados diretamente:
.
Passo 4
Agora, determinamos os limites de integração para cada variável:
-
varia de até (já que é o raio do cilindro), -
varia de até (um círculo completo), -
varia de até .
Também lembramos que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 5
Agora montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Simplificando, temos:
Passo 6
Vamos resolver a integral mais interna primeiro, em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral e integramos em relação a
:
Integrando em
:
Passo 8
Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
Analise a situação abaixo:
Considerando a situação apresentada, avalie a seguintes asserções e a relação proposta entre elas.
I. A soma dos limites da situação será 0 .
I. A soma dos limites da situação será 0 .
PORQUE
II. O primeiro limite resultará em uma indefinição, sendo necessária a regra de L
A respeito destas asserções, assinale a opção correta.
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A respeito destas asserções, assinale a opção correta.
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- A asserção I é uma proposição falsa e, a ll é uma proposição verdadeira.
- As asserções I e II são proposições falsas.
- As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
- A asserção I é uma proposição verdadeira e, a ll é uma proposição falsa.
- As asserciß̧ol̀
es I e II sal̀ o proposici̇ol̀ es verdadeiras, e a II el uma justificativa da I.
Calcule
, onde
é a região plana interior à circunferência
, com
.
Expresse a integral
dzdydx como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas e calcule a integral obtida.
Dica:
Dica:
Considere a situação abaixo:
Calculando-a chegamos em:
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- -2
- 2
- 0
-
-