Calcule integral duplaD y d x d y, onde D é a região plana interior à circunferência x^2+y^2=16, com y >= 2 raiz3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla . O que isso quer dizer? Estamos procurando somar todos os valores de dentro da região , que é a área dentro da circunferência e onde . Vamos usar cálculo integral para isso, e provavelmente vamos trocar para coordenadas polares porque a região é circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A equação representa uma circunferência com raio 4, centrada na origem. A condição limita essa região para a parte superior da circunferência. Então, é um “corte” da circunferência onde é pelo menos .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares:
x = r cos theta y = r sin theta dx , dy = r , dr , dtheta
Substituímos tudo isso na integral dupla.

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para e . Como a circunferência tem raio 4, vai de 0 até 4. Para , queremos apenas os ângulos onde .

Passo 5

Vamos encontrar até que ponto r sin theta >= 2raiz3 pode variar. A condição 4 sin theta >= 2raiz3 implies sin theta >= raiz32 se traduz em:
Como , temos:
Isso acontece quando está entre e .

Passo 6

Agora, podemos montar a integral em coordenadas polares:
integral duplaD y , dx , dy = integraltheta = pi3^2pi3 integralr = 0^4 (r sin theta) cdot r , dr , dtheta
Simplificando:
integralpi3^2pi3 sin theta integral0^4 r^2 , dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em integral0^4 r^2 , dr = [ r^33 ]0^4 = 4^33 - 0 = 643 :

Passo 8

Agora, substituímos esse valor na integral externa:
643 integralpi3^2pi3 sin theta , dtheta
A integral de 643 [ -cos theta ]pi3^2pi3 = 643 ( -cos 2pi3 + cos pi3 ) é , então:

Passo 9

Calculando os valores do cosseno:
cos pi3 = 12 cos 2pi3 = -12
Substituindo:
643 ( -(-12) + 12 ) = 643 ( 12 + 12 ) = 643 cdot 1 = 643

Resposta

O valor da integral dupla é .

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