Calcule , onde é a região plana interior à circunferência , com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla . O que isso quer dizer? Estamos procurando somar todos os valores de dentro da região , que é a área dentro da circunferência e onde . Vamos usar cálculo integral para isso, e provavelmente vamos trocar para coordenadas polares porque a região é circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A equação representa uma circunferência com raio 4, centrada na origem. A condição limita essa região para a parte superior da circunferência. Então, é um “corte” da circunferência onde é pelo menos .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares:
Substituímos tudo isso na integral dupla.

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para e . Como a circunferência tem raio 4, vai de 0 até 4. Para , queremos apenas os ângulos onde .

Passo 5

Vamos encontrar até que ponto pode variar. A condição se traduz em:
Como , temos:
Isso acontece quando está entre e .

Passo 6

Agora, podemos montar a integral em coordenadas polares:
Simplificando:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em :

Passo 8

Agora, substituímos esse valor na integral externa:
A integral de é , então:

Passo 9

Calculando os valores do cosseno:
Substituindo:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Analise o limite abaixo:
Resolvendo-o, chega-se em:
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  • -3
  • 0
  • 3
Calcule , onde W é limitado inferiormente pelo cone e superiormente pela esfera .
Analise a situação abaixo:
Considerando a situação apresentada, avalie a seguintes asserções e a relação proposta entre elas.
I. A soma dos limites da situação será 0 .

PORQUE

II. O primeiro limite resultará em uma indefinição, sendo necessária a regra de L
A respeito destas asserções, assinale a opção correta.
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  • A asserção I é uma proposição falsa e, a ll é uma proposição verdadeira.
  • As asserções I e II são proposições falsas.
  • As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
  • A asserção I é uma proposição verdadeira e, a ll é uma proposição falsa.
  • As asserciß̧ol̀ es I e II sal̀ o proposici̇ol̀ es verdadeiras, e a II el uma justificativa da I.
Calcule , onde W é a região contida dentro do cilindro e entre os planos e .