Calcule
, onde
é a região plana interior à circunferência
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
. O que isso quer dizer? Estamos procurando somar todos os valores de
dentro da região
, que é a área dentro da circunferência
e onde
. Vamos usar cálculo integral para isso, e provavelmente vamos trocar para coordenadas polares porque a região é circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A equação
representa uma circunferência com raio 4, centrada na origem. A condição
limita essa região para a parte superior da circunferência. Então,
é um “corte” da circunferência onde
é pelo menos
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares:
Substituímos tudo isso na integral dupla.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
e
. Como a circunferência tem raio 4,
vai de 0 até 4. Para
, queremos apenas os ângulos onde
.
Passo 5
Vamos encontrar até que ponto
pode variar. A condição
se traduz em:
Como
, temos:
Isso acontece quando
está entre
e
.
Passo 6
Agora, podemos montar a integral em coordenadas polares:
Simplificando:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em
:
Passo 8
Agora, substituímos esse valor na integral externa:
A integral de
é
, então:
Passo 9
Calculando os valores do cosseno:
Substituindo:
Resposta
O valor da integral dupla é
.