Calcule
, onde
é a região plana interior à circunferência
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
. O que isso quer dizer? Estamos procurando somar todos os valores de
dentro da região
, que é a área dentro da circunferência
e onde
. Vamos usar cálculo integral para isso, e provavelmente vamos trocar para coordenadas polares porque a região é circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A equação
representa uma circunferência com raio 4, centrada na origem. A condição
limita essa região para a parte superior da circunferência. Então,
é um “corte” da circunferência onde
é pelo menos
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares:
Substituímos tudo isso na integral dupla.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
e
. Como a circunferência tem raio 4,
vai de 0 até 4. Para
, queremos apenas os ângulos onde
.
Passo 5
Vamos encontrar até que ponto
pode variar. A condição
se traduz em:
Como
, temos:
Isso acontece quando
está entre
e
.
Passo 6
Agora, podemos montar a integral em coordenadas polares:
Simplificando:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em
:
Passo 8
Agora, substituímos esse valor na integral externa:
A integral de
é
, então:
Passo 9
Calculando os valores do cosseno:
Substituindo:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Analise o limite abaixo:
Resolvendo-o, chega-se em:
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-
- -3
-
- 0
- 3
Calcule
, onde W é limitado inferiormente pelo cone
e superiormente pela esfera
.
Analise a situação abaixo:
Considerando a situação apresentada, avalie a seguintes asserções e a relação proposta entre elas.
I. A soma dos limites da situação será 0 .
I. A soma dos limites da situação será 0 .
PORQUE
II. O primeiro limite resultará em uma indefinição, sendo necessária a regra de L
A respeito destas asserções, assinale a opção correta.
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A respeito destas asserções, assinale a opção correta.
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- A asserção I é uma proposição falsa e, a ll é uma proposição verdadeira.
- As asserções I e II são proposições falsas.
- As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
- A asserção I é uma proposição verdadeira e, a ll é uma proposição falsa.
- As asserciß̧ol̀
es I e II sal̀ o proposici̇ol̀ es verdadeiras, e a II el uma justificativa da I.
Calcule
, onde W é a região contida dentro do cilindro
e entre os planos
e
.