Analise a situação a seguir:
A partir da análise da situação acima, considere as seguintes afirmações:
I. O resultado do limite será uma indefinição do tipo
.
II. Para encontrarmos um resultado possível para o limite dado deve ser aplicado o Teorema de Cauchy.
III. O limite acima converge para 1.
É correto o que se afirma em:
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- Ie II, apenas.
- III, apenas.
- II, apenas.
- Ie III, apenas.
- I, apenas.
I. O resultado do limite será uma indefinição do tipo
II. Para encontrarmos um resultado possível para o limite dado deve ser aplicado o Teorema de Cauchy.
III. O limite acima converge para 1.
É correto o que se afirma em:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que é o seguinte:
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções exponenciais e logaritmos. Vamos precisar entender como lidar com indeterminações do tipo
e aplicar algumas propriedades de limites e logaritmos para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a forma do limite. Quando
tende ao infinito,
também tende ao infinito, e
também tende ao infinito. Então, temos uma expressão do tipo
, que é uma indeterminação. Isso confirma a afirmação I.
Passo 3
Para resolver essa indeterminação, uma técnica útil é transformar a expressão exponencial em uma forma que envolva o logaritmo natural, o que facilita a aplicação de limites. Vamos reescrever a expressão da seguinte forma:
Isso transforma o limite original em:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite dentro do expoente:
Para simplificar, percebemos que quando
é muito grande,
é aproximadamente
. Então:
Portanto, o limite se torna:
Passo 5
Substituindo esse valor de volta na expressão original:
Então, o limite converge para
, que é aproximadamente 7,389.
Isso significa que a afirmação III está incorreta, pois o limite não converge para 1.
Passo 6
Além disso, para resolver esse tipo de limite, não precisamos aplicar o Teorema de Cauchy. Usamos propriedades dos logaritmos e exponenciais para simplificar a expressão. Portanto, a afirmação II também está incorreta.
Passo 7
Já vimos que a forma do limite é
, o que confirma a afirmação I.
Resposta
É correto o que se afirma em:
- I, apenas.
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Calcule
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Calcule o volume do conjunto dado.
a) e
; (Dica: Use a fórmula estudada em aula para integrais triplas. A resposta é
.)
a)
Analise o limite abaixo:
Calculando-o, chega-se em:
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-
- 0
- -3
-
- 3
Calcule
, onde W é limitado inferiormente pelo cone
e superiormente pela esfera
.