Analise a situação a seguir:
A partir da análise da situação acima, considere as seguintes afirmações:
I. O resultado do limite será uma indefinição do tipo .
II. Para encontrarmos um resultado possível para o limite dado deve ser aplicado o Teorema de Cauchy.
III. O limite acima converge para 1.
É correto o que se afirma em:
Clique na sua resposta abaixo
  • Ie II, apenas.
  • III, apenas.
  • II, apenas.
  • Ie III, apenas.
  • I, apenas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que é o seguinte:
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções exponenciais e logaritmos. Vamos precisar entender como lidar com indeterminações do tipo e aplicar algumas propriedades de limites e logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a forma do limite. Quando tende ao infinito, também tende ao infinito, e também tende ao infinito. Então, temos uma expressão do tipo , que é uma indeterminação. Isso confirma a afirmação I.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, uma técnica útil é transformar a expressão exponencial em uma forma que envolva o logaritmo natural, o que facilita a aplicação de limites. Vamos reescrever a expressão da seguinte forma:
Isso transforma o limite original em:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite dentro do expoente:
Para simplificar, percebemos que quando é muito grande, é aproximadamente . Então:
Portanto, o limite se torna:

Passo 5

Substituindo esse valor de volta na expressão original:
Então, o limite converge para , que é aproximadamente 7,389.
Isso significa que a afirmação III está incorreta, pois o limite não converge para 1.

Passo 6

Além disso, para resolver esse tipo de limite, não precisamos aplicar o Teorema de Cauchy. Usamos propriedades dos logaritmos e exponenciais para simplificar a expressão. Portanto, a afirmação II também está incorreta.

Passo 7

Já vimos que a forma do limite é , o que confirma a afirmação I.

Resposta

É correto o que se afirma em:
  • I, apenas.

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  • -3
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