Calcule o volume do conjunto dado.
a) e ; (Dica: Use a fórmula estudada em aula para integrais triplas. A resposta é .)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um conjunto definido por , e . Para resolver isso, vamos usar integrais triplas, que são ferramentas matemáticas usadas para encontrar volumes de regiões no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. Temos e variando de 0 a 1, o que forma um quadrado no plano . A altura varia de 0 até . Isso significa que estamos procurando o volume sob a superfície e acima do quadrado , .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral tripla para calcular esse volume. A integral tripla em coordenadas cartesianas é escrita assim:
Aqui, estamos integrando em primeiro, depois em , e finalmente em .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em :
Agora, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar em :
Calculando cada parte:
Então:

Passo 6

Agora, vamos integrar em :
Calculando cada parte:
Então:

Resposta

O volume é .

Exercícios relacionados

Use a fórmula
onde os pontos indicam derivadas a respeito de (veja o Exercício 36 no texto) para encontrar a curvatura da curva paramétrica.
Use a fórmula
onde os pontos indicam derivadas a respeito de (veja o Exercício 36 no texto) para encontrar a curvatura da curva paramétrica.
Calcule
Sugestão: use coordenadas polares
Analise a situação a seguir:
A partir da análise da situação acima, considere as seguintes afirmações:
I. O resultado do limite será uma indefinição do tipo .
II. Para encontrarmos um resultado possível para o limite dado deve ser aplicado o Teorema de Cauchy.
III. O limite acima converge para 1.
É correto o que se afirma em:
Clique na sua resposta abaixo
  • Ie II, apenas.
  • III, apenas.
  • II, apenas.
  • Ie III, apenas.
  • I, apenas.