Calcule o volume do conjunto dado.
a) 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1 e 0 <= z <= 5 - x^2 - 3 y^2; (Dica: Use a fórmula estudada em aula para integrais triplas. A resposta é 11 / 3.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um conjunto definido por , e . Para resolver isso, vamos usar integrais triplas, que são ferramentas matemáticas usadas para encontrar volumes de regiões no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. Temos e variando de 0 a 1, o que forma um quadrado no plano . A altura varia de 0 até . Isso significa que estamos procurando o volume sob a superfície e acima do quadrado , .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral tripla para calcular esse volume. A integral tripla em coordenadas cartesianas é escrita assim:
Aqui, estamos integrando em primeiro, depois em , e finalmente em .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em :
Agora, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar em :
Calculando cada parte:
Então:

Passo 6

Agora, vamos integrar em :
Calculando cada parte:
Então:

Resposta

O volume é .

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