Calcule integral0^1 integralraiz1-x^2^raiz4-x^2 1raizx^2+y^2 d y d x+integral1^2 integral0^raiz4-x^2 1raizx^2+y^2 d y d x
Sugestão: use coordenadas polares

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de integração dupla. A questão pede para calcular duas integrais duplas envolvendo a expressão sobre determinadas regiões. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando trabalhamos com expressões como .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as regiões de integração. A primeira integral vai de a e de a . A segunda integral vai de a e de a . Essas regiões representam setores de círculos com raios 1 e 2.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
x = r costheta e y = r sintheta
E a área diferencial se transforma em . A expressão vira simplesmente .

Passo 4

Substituindo na integral, temos que a expressão integral integral 1r cdot r,dr,dtheta = integral integral dr,dtheta se torna . Então, a integral dupla fica:
Isso simplifica bastante a nossa vida!

Passo 5

Vamos identificar os limites em coordenadas polares. Para a primeira integral:
  • vai de 0 a 1, o que em polares significa de 0 a 1.
  • vai de a , que representam círculos de raio 1 e 2.
Portanto, vai de 1 a 2 e vai de 0 a , já que estamos no primeiro quadrante.
Para a segunda integral:
  • vai de 1 a 2, então de 1 a 2.
  • vai de 0 a , que também está no primeiro quadrante.
Aqui, vai de 1 a 2 e também vai de 0 a .

Passo 6

Agora, vamos reescrever as integrais em coordenadas polares:
Primeira integral:
integral0^pi2 integral1^2 dr,dtheta
Segunda integral:
integral0^pi2 integral1^2 dr,dtheta
Percebemos que as duas integrais são iguais!

Passo 7

Calculando a primeira integral:
integral0^pi2 integral1^2 dr,dtheta = integral0^pi2 [r]1^2 dtheta = integral0^pi2 (2 - 1) dtheta = integral0^pi2 1 dtheta = [theta]0^pi2 = pi2
Como a segunda integral é igual à primeira, ela também vale .

Passo 8

Somando as duas integrais:
pi2 + pi2 = pi

Resposta

O valor da expressão é .

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