Calcule
Sugestão: use coordenadas polares
Sugestão: use coordenadas polares
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de integração dupla. A questão pede para calcular duas integrais duplas envolvendo a expressão
sobre determinadas regiões. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando trabalhamos com expressões como
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as regiões de integração. A primeira integral vai de
a
e de
a
. A segunda integral vai de
a
e de
a
. Essas regiões representam setores de círculos com raios 1 e 2.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
E a área diferencial
se transforma em
. A expressão
vira simplesmente
.
Passo 4
Substituindo na integral, temos que a expressão
se torna
. Então, a integral dupla fica:
Isso simplifica bastante a nossa vida!
Passo 5
Vamos identificar os limites em coordenadas polares. Para a primeira integral:
-
vai de 0 a 1, o que em polares significa de 0 a 1. -
vai de a , que representam círculos de raio 1 e 2.
Portanto,
vai de 1 a 2 e
vai de 0 a
, já que estamos no primeiro quadrante.
Para a segunda integral:
-
vai de 1 a 2, então de 1 a 2. -
vai de 0 a , que também está no primeiro quadrante.
Aqui,
vai de 1 a 2 e
também vai de 0 a
.
Passo 6
Agora, vamos reescrever as integrais em coordenadas polares:
Primeira integral:
Segunda integral:
Percebemos que as duas integrais são iguais!
Passo 7
Calculando a primeira integral:
Como a segunda integral é igual à primeira, ela também vale
.
Passo 8
Somando as duas integrais:
Resposta
O valor da expressão é
.