Calcule
Sugestão: use coordenadas polares

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de integração dupla. A questão pede para calcular duas integrais duplas envolvendo a expressão sobre determinadas regiões. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando trabalhamos com expressões como .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as regiões de integração. A primeira integral vai de a e de a . A segunda integral vai de a e de a . Essas regiões representam setores de círculos com raios 1 e 2.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
E a área diferencial se transforma em . A expressão vira simplesmente .

Passo 4

Substituindo na integral, temos que a expressão se torna . Então, a integral dupla fica:
Isso simplifica bastante a nossa vida!

Passo 5

Vamos identificar os limites em coordenadas polares. Para a primeira integral:
  • vai de 0 a 1, o que em polares significa de 0 a 1.
  • vai de a , que representam círculos de raio 1 e 2.
Portanto, vai de 1 a 2 e vai de 0 a , já que estamos no primeiro quadrante.
Para a segunda integral:
  • vai de 1 a 2, então de 1 a 2.
  • vai de 0 a , que também está no primeiro quadrante.
Aqui, vai de 1 a 2 e também vai de 0 a .

Passo 6

Agora, vamos reescrever as integrais em coordenadas polares:
Primeira integral:
Segunda integral:
Percebemos que as duas integrais são iguais!

Passo 7

Calculando a primeira integral:
Como a segunda integral é igual à primeira, ela também vale .

Passo 8

Somando as duas integrais:

Resposta

O valor da expressão é .

Exercícios relacionados

Calcule o volume do conjunto dado.
a) e ; (Dica: Use a fórmula estudada em aula para integrais triplas. A resposta é .)
Use a fórmula
onde os pontos indicam derivadas a respeito de (veja o Exercício 36 no texto) para encontrar a curvatura da curva paramétrica.
Analise a situação a seguir:
A partir da análise da situação acima, considere as seguintes afirmações:
I. O resultado do limite será uma indefinição do tipo .
II. Para encontrarmos um resultado possível para o limite dado deve ser aplicado o Teorema de Cauchy.
III. O limite acima converge para 1.
É correto o que se afirma em:
Clique na sua resposta abaixo
  • Ie II, apenas.
  • III, apenas.
  • II, apenas.
  • Ie III, apenas.
  • I, apenas.
Analise o limite abaixo:
Calculando-o, chega-se em:
Clique na sua resposta abaixo
  • 0
  • -3
  • 3