Calcule , onde W é limitado inferiormente pelo cone e superiormente pela esfera .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla . O conjunto é limitado por um cone na parte de baixo e por uma esfera na parte de cima. Vamos usar coordenadas esféricas porque tanto o integrando quanto as superfícies são mais fáceis de lidar nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume é:
Além disso, .

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração. A esfera em coordenadas esféricas é simplesmente . O cone se transforma em:
Então, vai de 0 até .

Passo 4

O ângulo em coordenadas esféricas vai completar a volta ao redor do eixo z, então varia de 0 a .

Passo 5

Agora, vamos montar a integral tripla em coordenadas esféricas com os limites que encontramos:

Passo 6

Vamos resolver a integral em primeiro:

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral e resolvemos a integral em :

Passo 8

Finalmente, resolvemos a integral em :
Simplificando:

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

Analise o limite abaixo:
Calculando-o, chega-se em:
Clique na sua resposta abaixo
  • 0
  • -3
  • 3
Analise a situação a seguir:
A partir da análise da situação acima, considere as seguintes afirmações:
I. O resultado do limite será uma indefinição do tipo .
II. Para encontrarmos um resultado possível para o limite dado deve ser aplicado o Teorema de Cauchy.
III. O limite acima converge para 1.
É correto o que se afirma em:
Clique na sua resposta abaixo
  • Ie II, apenas.
  • III, apenas.
  • II, apenas.
  • Ie III, apenas.
  • I, apenas.
Analise o limite abaixo:
Resolvendo-o, chega-se em:
Clique na sua resposta abaixo
  • -3
  • 0
  • 3
Calcule , onde é a região plana interior à circunferência , com .