Calcule
, onde W é limitado inferiormente pelo cone
e superiormente pela esfera
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
. O conjunto
é limitado por um cone
na parte de baixo e por uma esfera
na parte de cima. Vamos usar coordenadas esféricas porque tanto o integrando quanto as superfícies são mais fáceis de lidar nessas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume é:
Além disso,
.
Passo 3
Vamos identificar os limites de integração. A esfera
em coordenadas esféricas é simplesmente
. O cone
se transforma em:
Então,
vai de 0 até
.
Passo 4
O ângulo
em coordenadas esféricas vai completar a volta ao redor do eixo z, então
varia de 0 a
.
Passo 5
Agora, vamos montar a integral tripla em coordenadas esféricas com os limites que encontramos:
Passo 6
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral e resolvemos a integral em
:
Passo 8
Finalmente, resolvemos a integral em
:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral tripla é
.