Calcule integral triplaW raizx^2+y^2+z^2 dV, onde W é limitado inferiormente pelo cone z=raiz3(x^2+y^2) e superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla . O conjunto é limitado por um cone na parte de baixo e por uma esfera na parte de cima. Vamos usar coordenadas esféricas porque tanto o integrando quanto as superfícies são mais fáceis de lidar nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, temos:
x = rho sinphi costheta, y = rho sinphi sintheta, z = rho cosphi
E o elemento de volume é:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Além disso, .

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração. A esfera rho cosphi = raiz3 rho sinphi Rightarrow tanphi = 1raiz3 Rightarrow phi = pi6 em coordenadas esféricas é simplesmente . O cone se transforma em:
Então, vai de 0 até .

Passo 4

O ângulo em coordenadas esféricas vai completar a volta ao redor do eixo z, então varia de 0 a .

Passo 5

Agora, vamos montar a integral tripla em coordenadas esféricas com os limites que encontramos:
integral triplaW rho cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta = integral0^2pi integral0^pi6 integral0^2 rho^3 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral em integral0^2 rho^3 , drho = [ rho^44 ]0^2 = 164 = 4 primeiro:

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral e resolvemos a integral em 4 integral0^pi6 sinphi , dphi = 4 [ -cosphi ]0^pi6 = 4 ( -cospi6 + cos0 ) = 4 ( -raiz32 + 1 ) = 4 (1 - raiz32 ) :

Passo 8

Finalmente, resolvemos a integral em 4 (1 - raiz32 ) integral0^2pi dtheta = 4 (1 - raiz32 ) cdot 2pi = 8pi (1 - raiz32 ) :
8pi - 4piraiz3
Simplificando:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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