A análise de superfícies paramétricas no espaço tridimensional requer compreensão detalhada de geometria e cálculo. Considere a superfície paramétrica
, para os intervalos
. Analise as propriedades geométricas desta superfície, incluindo a forma geral, a variação do raio ao longo da superfície e a natureza da curvatura ao longo dos eixos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa analisar uma superfície paramétrica no espaço tridimensional, especificamente a superfície definida por
com
e
. O que vamos precisar para resolver isso envolve conhecimentos de geometria e cálculo, especialmente sobre superfícies paramétricas, suas formas, como o raio varia na superfície e como a curvatura se comporta nos eixos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma geral dessa superfície. A equação
nos mostra que para cada valor de
e
, a superfície dá um ponto no espaço 3D. Observando as coordenadas
e
, percebemos que, para um dado
, esses termos descrevem um círculo de raio
no plano
. Já a coordenada
indica que, conforme
aumenta, estamos subindo no eixo
.
Passo 3
Agora, vamos ver como varia o raio ao longo da superfície. Como
está no intervalo de 0 a 1, o raio desses círculos que estamos desenhando no plano
aumenta de 0 a 1 à medida que
aumenta. Isso significa que a superfície começa no ponto
e, à medida que
cresce, os círculos vão ficando cada vez maiores, até atingir um raio máximo de 1 para
.
Passo 4
Vamos analisar a curvatura ao longo dos eixos
e
. A curvatura nos diz como a superfície se curva em diferentes direções. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais da superfície em relação a
e
e, em seguida, usar essas derivadas para encontrar os ** vetores normais ** e as curvaturas principais.
Primeiro, calculamos as derivadas:
Essas derivadas nos mostram como a superfície muda quando variamos
e
. Para entender a curvatura, teríamos que calcular mais detalhadamente os curvaturas de Gauss e curvaturas médias, mas de maneira simplificada, podemos dizer que a superfície apresenta uma curvatura contínua nos eixos
e
, formando o que parece ser um helicóide.
Resposta
A superfície paramétrica
para
e
forma um helicóide que começa no ponto
e, à medida que
aumenta de 0 a 1, o raio dos círculos no plano
cresce de 0 a 1. A curvatura da superfície é contínua ao longo dos eixos
e
, resultando em uma forma espiralada que sobe no eixo
conforme
varia de 0 a
.