Dada a função
, calcule a derivada parcial de segundo grau em relação a
e y no ponto
, e assinale a alternativa correta.
Alternativas
A)
no ponto (0,0); indica uma mudança linear na inclinação.
B)
no ponto
; indica uma mudança não-linear na inclinação.
C)
no ponto
; representa a ausência de curvatura.
D)
no ponto
; reflete a taxa de variação da derivada em relação a y.
E)
no ponto
; representa a taxa de variação da inclinação da função.
Alternativas
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Então, vamos lá! Temos a função
e precisamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
e
no ponto
. Isso envolve entender um pouco sobre derivadas parciais de segunda ordem e como aplicá-las em funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
. Para isso, tratamos
como uma constante:
Aqui, usamos a regra da cadeia, onde derivamos o expoente
em relação a
, o que dá
, e multiplicamos pelo
.
Passo 3
Agora, vamos derivar a expressão que encontramos com respeito a
para obter a segunda derivada parcial:
Aplicamos a regra do produto:
Isso porque derivamos
em relação a
, que dá 1, e
em relação a
, que dá
.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa segunda derivada no ponto
:
Então, a segunda derivada parcial nesse ponto é igual a 1.
Resposta
A alternativa correta é a E):