Dada a função g(x, y)=e^x y, calcule a derivada parcial de segundo grau em relação a x e y no ponto (0,0), e assinale a alternativa correta.
Alternativas
A) partial^2 gpartial x partial y=1 no ponto (0,0); indica uma mudança linear na inclinação.
B) partial^2 gpartial x partial y=0 no ponto (0,0); indica uma mudança não-linear na inclinação.
C) partial^2 gpartial x partial y=0 no ponto (0,0); representa a ausência de curvatura.
D) partial^2 gpartial x partial y=e no ponto (0,0); reflete a taxa de variação da derivada em relação a y.
E) partial^2 gpartial x partial y=1 no ponto (0,0); representa a taxa de variação da inclinação da função.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos a função e precisamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a e no ponto . Isso envolve entender um pouco sobre derivadas parciais de segunda ordem e como aplicá-las em funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial gpartial x = partialpartial x ( e^xy ) = y cdot e^xy em relação a . Para isso, tratamos como uma constante:
Aqui, usamos a regra da cadeia, onde derivamos o expoente em relação a , o que dá , e multiplicamos pelo .

Passo 3

Agora, vamos derivar a expressão que encontramos com respeito a partial^2 gpartial x partial y = partialpartial y ( y cdot e^xy ) para obter a segunda derivada parcial:
partial^2 gpartial x partial y = e^xy + xy cdot e^xy
Aplicamos a regra do produto:
Isso porque derivamos em relação a , que dá 1, e em relação a , que dá .

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa segunda derivada no ponto partial^2 gpartial x partial yg|(0,0) = e^0 cdot 0 + 0 cdot 0 cdot e^0 cdot 0 = 1 + 0 = 1 :
Então, a segunda derivada parcial nesse ponto é igual a 1.

Resposta

A alternativa correta é a E):
partial^2 gpartial x partial y=1 no ponto (0,0); representa a taxa de variação da inclinação da função çãçãçã

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