Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de primeira ordem:
Isso pertence ao conteúdo de equações diferenciais lineares. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método do fator integrante. Basicamente, vamos encontrar uma função que facilita a resolução da equação e, no final, encontramos a solução geral e particular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da equação na forma padrão:
Aqui, temos:
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, torna o lado esquerdo da equação facilmente integrável.
Passo 3
O fator integrante (
) é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Sabemos que:
Mas como estamos procurando apenas a função integradora, podemos ignorar a constante
. Então:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando, temos:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma o lado esquerdo da equação em uma derivada de um produto.
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é simplesmente:
Para o lado direito, simplificamos
:
Então, a integral é:
Passo 6
Agora, temos:
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Quando
:
Substituindo na equação:
Resposta
A solução da equação diferencial é: