y' + tan(t) y = sen(t), y(pi) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de primeira ordem:
Isso pertence ao conteúdo de equações diferenciais lineares. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método do fator integrante. Basicamente, vamos encontrar uma função que facilita a resolução da equação e, no final, encontramos a solução geral e particular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação na forma padrão:
Aqui, temos:
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, torna o lado esquerdo da equação facilmente integrável.

Passo 3

O fator integrante ( ) é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Sabemos que:
Mas como estamos procurando apenas a função integradora, podemos ignorar a constante . Então:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando, temos:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma o lado esquerdo da equação em uma derivada de um produto.

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é simplesmente:
Para o lado direito, simplificamos :
Então, a integral é:

Passo 6

Agora, temos:
Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial :
Quando :
Substituindo na equação:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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