Use o quociente
para verificar se a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
Passo 1
Então, temos a sequência definida por
para
de 1 até o infinito. Queremos descobrir se essa sequência está sempre aumentando (estritamente crescente) ou sempre diminuindo (estritamente decrescente). Para isso, vamos usar o quociente
, que nos ajuda a comparar termos consecutivos da sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o quociente
. Substituindo
e
na fórmula, temos:
Simplificando os termos com potências iguais:
E para a parte dos denominadores:
Então, o quociente fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar esse quociente
. À medida que
aumenta, o denominador
cresce muito rápido porque é uma potência de 2 com expoente quadrático. Isso faz com que o valor do quociente diminua, se aproximando de zero conforme
fica maior.
Passo 4
Como
é sempre menor que 1 para todo
maior ou igual a 1, isso indica que cada termo da sequência é menor que o anterior. Portanto, a sequência está sempre diminuindo.
Resposta
A sequência
é estritamente decrescente.