Use o quociente a_{n+1}/a_{n} para verificar se a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
{5^n}/{2^(n^2)} n=1 a +infinito

Passo 1

Então, temos a sequência definida por para de 1 até o infinito. Queremos descobrir se essa sequência está sempre aumentando (estritamente crescente) ou sempre diminuindo (estritamente decrescente). Para isso, vamos usar o quociente , que nos ajuda a comparar termos consecutivos da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o quociente . Substituindo e na fórmula, temos:
Simplificando os termos com potências iguais:
E para a parte dos denominadores:
Então, o quociente fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar esse quociente . À medida que aumenta, o denominador cresce muito rápido porque é uma potência de 2 com expoente quadrático. Isso faz com que o valor do quociente diminua, se aproximando de zero conforme fica maior.

Passo 4

Como é sempre menor que 1 para todo maior ou igual a 1, isso indica que cada termo da sequência é menor que o anterior. Portanto, a sequência está sempre diminuindo.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente.

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