Análise: Usando a função algébrica, determine o tempo necessário para que a matéria orgânica restante seja reduzida a 20%. Verifique sua resposta utilizando o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema onde precisa descobrir quanto tempo vai levar para a quantidade de matéria orgânica diminuir para 20% do que começou. A gente vai usar uma função algébrica, que é basicamente uma equação que descreve como essa matéria está decrescendo ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de decaimento e como manipular equações para encontrar o tempo que procuramos.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que a quantidade de matéria orgânica diminui de forma exponencial, o que é comum em processos de decomposição. A função algébrica que descreve esse tipo de decaimento é:
Aqui,
é a quantidade de matéria orgânica no tempo
,
é a quantidade inicial,
é a base do logaritmo natural, e
é a constante de decaimento que depende de como rápido a matéria se decompõe.
Passo 3
Como queremos saber quando a matéria orgânica será reduzida a 20% do valor inicial, podemos colocar isso na equação:
A boa notícia é que
aparece nos dois lados e pode ser cancelado:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. Para isso, vamos usar o logaritmo natural, que é a função inversa da exponencial:
Agora, isole
:
Passo 5
Para encontrar o valor de
, precisamos saber a constante
. Supondo que já tenhamos esse valor (ou que seja dado no gráfico que você mencionou), é só substituir na fórmula. Por exemplo, se
(esse valor é só um exemplo, você deve usar o valor correto do seu caso):
Calculando o logaritmo:
Então:
Passo 6
Agora, vamos verificar no gráfico. No gráfico da função
, marcamos no eixo
o valor que encontramos e verificamos se a quantidade de matéria orgânica está realmente em 20%. Se estiver alinhado, nossa resposta está correta!
Resposta
O tempo necessário para que a matéria orgânica restante seja reduzida a 20% é aproximadamente 16,094 unidades de tempo.