Análise: Usando a função algébrica, determine o tempo necessário para que a matéria orgânica restante seja reduzida a 20%. Verifique sua resposta utilizando o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema onde precisa descobrir quanto tempo vai levar para a quantidade de matéria orgânica diminuir para 20% do que começou. A gente vai usar uma função algébrica, que é basicamente uma equação que descreve como essa matéria está decrescendo ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de decaimento e como manipular equações para encontrar o tempo que procuramos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que a quantidade de matéria orgânica diminui de forma exponencial, o que é comum em processos de decomposição. A função algébrica que descreve esse tipo de decaimento é:
Aqui, é a quantidade de matéria orgânica no tempo , é a quantidade inicial, é a base do logaritmo natural, e é a constante de decaimento que depende de como rápido a matéria se decompõe.

Passo 3

Como queremos saber quando a matéria orgânica será reduzida a 20% do valor inicial, podemos colocar isso na equação:
A boa notícia é que aparece nos dois lados e pode ser cancelado:

Passo 4

Agora, vamos resolver para . Para isso, vamos usar o logaritmo natural, que é a função inversa da exponencial:
Agora, isole :

Passo 5

Para encontrar o valor de , precisamos saber a constante . Supondo que já tenhamos esse valor (ou que seja dado no gráfico que você mencionou), é só substituir na fórmula. Por exemplo, se (esse valor é só um exemplo, você deve usar o valor correto do seu caso):
Calculando o logaritmo:
Então:

Passo 6

Agora, vamos verificar no gráfico. No gráfico da função , marcamos no eixo o valor que encontramos e verificamos se a quantidade de matéria orgânica está realmente em 20%. Se estiver alinhado, nossa resposta está correta!

Resposta

O tempo necessário para que a matéria orgânica restante seja reduzida a 20% é aproximadamente 16,094 unidades de tempo.

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, sendo e medidos em metros.
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