Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola:
, sendo
e
medidos em metros.
Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a
da área do retângulo
cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.
Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?
a. 18
b. 20
c. 36
d. 45
e. 54
Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a
cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.
Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?
a. 18
b. 20
c. 36
d. 45
e. 54
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um túnel com uma tampa de concreto cuja seção transversal é um arco de parábola. A equação dessa parábola é
, onde
e
estão medidos em metros. Precisamos calcular a área da parte frontal da tampa de concreto.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre áreas sob curvas parabólicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a parábola intercepta o eixo
. Isso acontece quando
:
Então, os interceptos são
e
. Isso significa que a base do túnel tem comprimento de
metros (de
a
).
Passo 3
A altura da parábola é o valor máximo de
, que ocorre no vértice. Como a equação está na forma
, o vértice está em
. Portanto, a altura do túnel é
metros.
Passo 4
A área do retângulo que envolve a parábola tem como dimensões a base e a altura do túnel:
Passo 5
Segundo a questão, a área sob a parábola é igual a
da área desse retângulo. Vamos calcular:
Resposta
A área da parte frontal da tampa de concreto é 36 m². Portanto, a resposta correta é a opção c. 36.
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a)
b)
c)
d)
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a)
b)
c)
d)
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65)
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