Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola:
y = 9 - x^2, sendo x e y medidos em metros.
Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a 2/3 da área do retângulo
cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.
Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?
a. 18
b. 20
c. 36
d. 45
e. 54

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um túnel com uma tampa de concreto cuja seção transversal é um arco de parábola. A equação dessa parábola é , onde e estão medidos em metros. Precisamos calcular a área da parte frontal da tampa de concreto.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre áreas sob curvas parabólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a parábola intercepta o eixo . Isso acontece quando :
Então, os interceptos são e . Isso significa que a base do túnel tem comprimento de metros (de a ).

Passo 3

A altura da parábola é o valor máximo de , que ocorre no vértice. Como a equação está na forma , o vértice está em . Portanto, a altura do túnel é metros.

Passo 4

A área do retângulo que envolve a parábola tem como dimensões a base e a altura do túnel:
Áâ

Passo 5

Segundo a questão, a área sob a parábola é igual a da área desse retângulo. Vamos calcular:
Áá

Resposta

A área da parte frontal da tampa de concreto é 36 m². Portanto, a resposta correta é a opção c. 36.

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