Analise os valores máximo e mínimo das seguintes funções e esboce os gráficos.
Passo 1
Beleza! Vamos analisar a função
. O objetivo aqui é encontrar os valores máximos e mínimos dessa função e desenhar o gráfico. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar onde a função atinge seus pontos mais altos e mais baixos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função. A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto, ou seja, se está subindo ou descendo. Vamos calcular a derivada de
.
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde a função pode ter máximos ou mínimos), igualamos a derivada a zero e resolvemos para
:
Então, temos dois pontos críticos em
e
.
Passo 4
Vamos descobrir se esses pontos são máximos ou mínimos. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada ou simplesmente observar o comportamento da primeira derivada ao redor desses pontos. Vamos calcular a segunda derivada:
Agora, avaliamos a segunda derivada em
e
:
-
Em
: Como, temos um ponto de máximo. -
Em
: Como, temos um ponto de mínimo.
Passo 5
Vamos encontrar as coordenadas desses pontos. Substituímos
e
na função original
:
-
Para
: Então, o ponto de máximo é. -
Para
: Então, o ponto de mínimo é.
Passo 6
Com esses pontos, podemos esboçar o gráfico da função. Sabemos que uma função cúbica como essa tem comportamento de subida e descida dependendo dos coeficientes. Aqui, o coeficiente de
é negativo, então o gráfico vai descer para a direita e subir para a esquerda, passando pelos pontos críticos que encontramos.
Resposta
A função
possui um ponto de máximo em
e um ponto de mínimo em
. O gráfico apresenta uma curva cúbica que desce para a direita, sobe passando pelo máximo e desce novamente passando pelo mínimo.
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