Analise os valores máximo e mínimo das seguintes funções e esboce os gráficos.
y = -x^3 + 3x - 5

Passo 1

Beleza! Vamos analisar a função . O objetivo aqui é encontrar os valores máximos e mínimos dessa função e desenhar o gráfico. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar onde a função atinge seus pontos mais altos e mais baixos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função. A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto, ou seja, se está subindo ou descendo. Vamos calcular a derivada de .

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde a função pode ter máximos ou mínimos), igualamos a derivada a zero e resolvemos para :
Então, temos dois pontos críticos em e .

Passo 4

Vamos descobrir se esses pontos são máximos ou mínimos. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada ou simplesmente observar o comportamento da primeira derivada ao redor desses pontos. Vamos calcular a segunda derivada:
Agora, avaliamos a segunda derivada em e :
  • Em :
    Como , temos um ponto de máximo.
  • Em :
    Como , temos um ponto de mínimo.

Passo 5

Vamos encontrar as coordenadas desses pontos. Substituímos e na função original :
  • Para :
    Então, o ponto de máximo é .
  • Para :
    Então, o ponto de mínimo é .

Passo 6

Com esses pontos, podemos esboçar o gráfico da função. Sabemos que uma função cúbica como essa tem comportamento de subida e descida dependendo dos coeficientes. Aqui, o coeficiente de é negativo, então o gráfico vai descer para a direita e subir para a esquerda, passando pelos pontos críticos que encontramos.

Resposta

A função possui um ponto de máximo em e um ponto de mínimo em . O gráfico apresenta uma curva cúbica que desce para a direita, sobe passando pelo máximo e desce novamente passando pelo mínimo.

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