Para cada função, determine os pontos de máximos ou de mínimos locais.
f(x) = -x^2 + 6x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos descobrir onde ela atinge pontos de máximos ou mínimos locais. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente quando a gente trabalha com derivadas para analisar o comportamento de funções. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função e estudar onde essa derivada é zero ou não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar pontos de máximos ou mínimos, a gente precisa achar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da tangente à curva em qualquer ponto, ou seja, como a função está crescendo ou decrescendo naquele ponto.
A derivada de é:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos encontrar os pontos onde essa derivada é igual a zero. Esses pontos são chamados de pontos críticos e são candidatos a serem máximos ou mínimos locais.
Então, resolvemos a equação:

Passo 4

Com como ponto crítico, precisamos determinar se esse ponto é um máximo ou um mínimo. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos a segunda derivada da função.
A primeira derivada é , então a segunda derivada é:

Passo 5

A segunda derivada é constante e negativa. Isso significa que a concavidade da função é para baixo em todo o domínio dela. Quando a segunda derivada é negativa em um ponto crítico, isso indica que o ponto é um máximo local.

Passo 6

Finalmente, para achar as coordenadas do ponto de máximo, substituímos na função original:

Resposta

A função tem um máximo local no ponto .

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