Para cada função, determine os pontos de máximos ou de mínimos locais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisamos descobrir onde ela atinge pontos de máximos ou mínimos locais. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente quando a gente trabalha com derivadas para analisar o comportamento de funções. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função e estudar onde essa derivada é zero ou não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar pontos de máximos ou mínimos, a gente precisa achar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da tangente à curva em qualquer ponto, ou seja, como a função está crescendo ou decrescendo naquele ponto.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos encontrar os pontos onde essa derivada é igual a zero. Esses pontos são chamados de pontos críticos e são candidatos a serem máximos ou mínimos locais.
Então, resolvemos a equação:
Passo 4
Com
como ponto crítico, precisamos determinar se esse ponto é um máximo ou um mínimo. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos a segunda derivada da função.
A primeira derivada é
, então a segunda derivada é:
Passo 5
A segunda derivada
é constante e negativa. Isso significa que a concavidade da função é para baixo em todo o domínio dela. Quando a segunda derivada é negativa em um ponto crítico, isso indica que o ponto é um máximo local.
Passo 6
Finalmente, para achar as coordenadas do ponto de máximo, substituímos
na função original:
Resposta
A função
tem um máximo local no ponto
.
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e
torno de
.