Analise a veracidade das seguintes afirmações e justifique:
b) Sejam A, B matrizes quadradas tais que A B=0, então se B neq 0 a matriz A não tem inversa.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas, e , que multiplicadas dão a matriz zero, ou seja, . A afirmação quer saber se, sabendo que , isso implica que não tem inversa. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes inversas e propriedades de matrizes que multiplicadas resultam em zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz inversa. Uma matriz tem uma inversa se , onde é a matriz identidade. Se uma matriz tem inversa, dizemos que ela é invertível.

Passo 3

Agora, vamos pensar no que acontece se A^-1(AB) = A^-10 tiver inversa. Se for invertível, podemos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de . Vamos fazer isso:

Passo 4

Simplificando a expressão acima, temos:
(A^-1A)B = 0
Como IB = 0 , a equação fica:
B = 0
E como é a matriz identidade, . Portanto:

Passo 5

Mas isso entra em contradição com a informação inicial de que . Portanto, nossa suposição de que é invertível leva a uma conclusão falsa. Isso significa que não pode ser invertível.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se e são matrizes quadradas tais que e , então não possui inversa.

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