Analise a veracidade das seguintes afirmações e justifique:
b) Sejam
matrizes quadradas tais que
, então se
a matriz
não tem inversa.
b) Sejam
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas,
e
, que multiplicadas dão a matriz zero, ou seja,
. A afirmação quer saber se, sabendo que
, isso implica que
não tem inversa. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes inversas e propriedades de matrizes que multiplicadas resultam em zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz inversa. Uma matriz
tem uma inversa
se
, onde
é a matriz identidade. Se uma matriz tem inversa, dizemos que ela é invertível.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que acontece se
tiver inversa. Se
for invertível, podemos multiplicar ambos os lados da equação
pela inversa de
. Vamos fazer isso:
Passo 4
Simplificando a expressão acima, temos:
Como
, a equação fica:
E como
é a matriz identidade,
. Portanto:
Passo 5
Mas isso entra em contradição com a informação inicial de que
. Portanto, nossa suposição de que
é invertível leva a uma conclusão falsa. Isso significa que
não pode ser invertível.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
e
são matrizes quadradas tais que
e
, então
não possui inversa.