Analise a veracidade das seguintes afirmações e justifique:
b) Sejam matrizes quadradas tais que , então se a matriz não tem inversa.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas, e , que multiplicadas dão a matriz zero, ou seja, . A afirmação quer saber se, sabendo que , isso implica que não tem inversa. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes inversas e propriedades de matrizes que multiplicadas resultam em zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz inversa. Uma matriz tem uma inversa se , onde é a matriz identidade. Se uma matriz tem inversa, dizemos que ela é invertível.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que acontece se tiver inversa. Se for invertível, podemos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de . Vamos fazer isso:
Passo 4
Simplificando a expressão acima, temos:
Como , a equação fica:
E como é a matriz identidade, . Portanto:
Passo 5
Mas isso entra em contradição com a informação inicial de que . Portanto, nossa suposição de que é invertível leva a uma conclusão falsa. Isso significa que não pode ser invertível.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se e são matrizes quadradas tais que e , então não possui inversa.