Analise a veracidade das seguintes afirmações e justifique:
f) Sejam
matrizes ortogonais então
e
também são matrizes ortogonais.
f) Sejam
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se
e
são matrizes ortogonais, precisamos verificar se
,
e
também são matrizes ortogonais. Para isso, vamos precisar entender o que é uma matriz ortogonal e quais são suas propriedades básicas.
Passo 2
Primeiro, uma matriz ortogonal é uma matriz quadrada
que, quando multiplicada pela sua transposta
, resulta na matriz identidade
. Ou seja,
. Isso também implica que a inversa de
é igual à sua transposta:
.
Passo 3
Vamos verificar se o produto
é ortogonal. Sabemos que
e
são ortogonais, então:
Agora, vamos calcular a transposta de
:
Para ser ortogonal, precisamos que:
Então,
é ortogonal.
Passo 4
Agora, vamos ver se
é ortogonal. Como
é ortogonal, sabemos que
. Vamos verificar:
Portanto,
também é ortogonal.
Passo 5
Por fim, vamos checar
. Similar ao caso de
:
E verificando:
Assim,
é ortogonal.
Resposta
Todas as afirmações são verdadeiras. Se
e
são matrizes ortogonais, então
,
e
também são matrizes ortogonais.