Analise a veracidade das seguintes afirmações e justifique:
f) Sejam A, B matrizes ortogonais então A B, A^-1 e B^-1 também são matrizes ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se e são matrizes ortogonais, precisamos verificar se , e também são matrizes ortogonais. Para isso, vamos precisar entender o que é uma matriz ortogonal e quais são suas propriedades básicas.

Passo 2

Primeiro, uma matriz ortogonal é uma matriz quadrada que, quando multiplicada pela sua transposta , resulta na matriz identidade . Ou seja, . Isso também implica que a inversa de é igual à sua transposta: .

Passo 3

Vamos verificar se o produto A^T A = I e B^T B = I é ortogonal. Sabemos que (AB)^T = B^T A^T e (AB)^T (AB) = B^T A^T A B = B^T I B = B^T B = I são ortogonais, então:
Agora, vamos calcular a transposta de :
Para ser ortogonal, precisamos que:
Então, é ortogonal.

Passo 4

Agora, vamos ver se (A^-1)^T A^-1 = (A^T)^T A^T = A A^T = I é ortogonal. Como é ortogonal, sabemos que . Vamos verificar:
Portanto, também é ortogonal.

Passo 5

Por fim, vamos checar B^-1 = B^T . Similar ao caso de (B^-1)^T B^-1 = (B^T)^T B^T = B B^T = I :
E verificando:
Assim, é ortogonal.

Resposta

Todas as afirmações são verdadeiras. Se e são matrizes ortogonais, então , e também são matrizes ortogonais.

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