Determine m, n de modo que os vetores u, v sejam LD, onde:
a) v=(1, m, n+1) w=(m, n, 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores de e de forma que os vetores e sejam linearmente dependentes (LD). Isso está relacionado ao estudo de álgebra linear, especificamente à dependência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa dois vetores serem LD e aplicar isso aos vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem linearmente dependentes. Dois vetores u = k cdot v e u = (1, m, n + 1) são LD se um deles for múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número v = (m, n, 2) tal que:
(1, m, n + 1) = k cdot (m, n, 2)
No nosso caso, temos:
Então, aplicando a definição:

Passo 3

Agora, vamos igualar as componentes correspondentes dos vetores:
1 = k cdot m (1)
m = k cdot n (2)
n + 1 = k cdot 2 (3)
Temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( e ). Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 4

Vamos começar pela primeira equação:
1 = k cdot m Rightarrow k = 1m
Agora, substituímos m = ( 1m ) cdot n Rightarrow m^2 = n na segunda equação:

Passo 5

Com m^2 + 1 = k cdot 2 , substituímos na terceira equação:
m^2 + 1 = 2m
Sabendo que m^3 + m = 2 , temos:
m^3 + m - 2 = 0
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Rearranjando:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
m^3 + m - 2 = 0
Vamos tentar encontrar raízes reais. Testando 1^3 + 1 - 2 = 0 Rightarrow 1 + 1 - 2 = 0 :
Portanto, é uma solução.

Passo 7

Com n = 1^2 = 1 , usamos :

Resposta

Os valores que satisfazem a condição são e .

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