Determine de modo que os vetores sejam LD, onde:
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores de e de forma que os vetores e sejam linearmente dependentes (LD). Isso está relacionado ao estudo de álgebra linear, especificamente à dependência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa dois vetores serem LD e aplicar isso aos vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem linearmente dependentes. Dois vetores e são LD se um deles for múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número tal que:
No nosso caso, temos:
Então, aplicando a definição:

Passo 3

Agora, vamos igualar as componentes correspondentes dos vetores:
Temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( e ). Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 4

Vamos começar pela primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:

Passo 5

Com , substituímos na terceira equação:
Sabendo que , temos:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Rearranjando:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
Vamos tentar encontrar raízes reais. Testando :
Portanto, é uma solução.

Passo 7

Com , usamos :

Resposta

Os valores que satisfazem a condição são e .

Exercícios relacionados

Calcule os determinantes:
j)
Calcule os determinantes:
i) .
Analise a veracidade das seguintes afirmações e justifique:
b) Sejam matrizes quadradas tais que , então se a matriz não tem inversa.
Analise a veracidade das seguintes afirmações e justifique:
f) Sejam matrizes ortogonais então e também são matrizes ortogonais.