Determine
de modo que os vetores
sejam LD, onde:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores de
e
de forma que os vetores
e
sejam linearmente dependentes (LD). Isso está relacionado ao estudo de álgebra linear, especificamente à dependência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa dois vetores serem LD e aplicar isso aos vetores dados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem linearmente dependentes. Dois vetores
e
são LD se um deles for múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número
tal que:
No nosso caso, temos:
Então, aplicando a definição:
Passo 3
Agora, vamos igualar as componentes correspondentes dos vetores:
Temos um sistema de três equações com duas incógnitas (
e
). Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Vamos começar pela primeira equação:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Passo 5
Com
, substituímos na terceira equação:
Sabendo que
, temos:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Rearranjando:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
Vamos tentar encontrar raízes reais. Testando
:
Portanto,
é uma solução.
Passo 7
Com
, usamos
:
Resposta
Os valores que satisfazem a condição são
e
.