Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que
é maior que a soma
para qualquer
. Vamos usar conceitos de séries matemáticas, especificamente a série de Taylor para a função exponencial, e alguns princípios básicos de desigualdades para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor da função exponencial
. A série infinita é dada por:
Ou seja,
é a soma de todos os termos
para
indo de 0 ao infinito.
Passo 3
No exercício, temos uma soma finita até o termo
:
Vamos chamar essa soma de
:
Passo 4
Agora, devemos comparar
com
. Observamos que
inclui todos os termos de
mais os termos a partir de
até o infinito. Então podemos escrever:
Passo 5
Note que todos os termos da série são positivos quando
, já que
e
são positivos. Isso significa que a soma dos termos a partir de
também é positiva:
Passo 6
Como a soma adicional é positiva, concluímos que:
Portanto,
Resposta
Para qualquer
, a desigualdade
é verdadeira.
Exercícios relacionados
Análogo ao anterior.
não tem pontos críticos, sendo sempre crescente.
donde obtemos:
e
para
. Assim, o ângulo
tal que sen
é ponto de máximo. O mínimo deve ocorrer em
ou
; ocorrerá em
se
e em
se
.
Pontos críticos em
e
. O primeiro é de máximo relativo e os outros dois são de mínimo absoluto:
. Não há máximo absoluto, pois
. A função é crescente em
e decrescente em
e
.