e^x > 1 + x + x^2/2! + ... + x^n/n! para x > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que é maior que a soma para qualquer . Vamos usar conceitos de séries matemáticas, especificamente a série de Taylor para a função exponencial, e alguns princípios básicos de desigualdades para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor da função exponencial . A série infinita é dada por:
Ou seja, é a soma de todos os termos para indo de 0 ao infinito.

Passo 3

No exercício, temos uma soma finita até o termo :
Vamos chamar essa soma de :

Passo 4

Agora, devemos comparar com . Observamos que inclui todos os termos de mais os termos a partir de até o infinito. Então podemos escrever:

Passo 5

Note que todos os termos da série são positivos quando , já que e são positivos. Isso significa que a soma dos termos a partir de também é positiva:

Passo 6

Como a soma adicional é positiva, concluímos que:
Portanto,

Resposta

Para qualquer , a desigualdade é verdadeira.

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