donde obtemos:
e
para
. Assim, o ângulo
tal que sen
é ponto de máximo. O mínimo deve ocorrer em
ou
; ocorrerá em
se
e em
se
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma expressão para
que depende de um ângulo
:
Queremos encontrar o valor de
que minimiza ou maximiza
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para analisar o comportamento dessa função.
Passo 2
O próximo passo é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Derivando a expressão dada:
Calculando cada derivada separadamente:
Portanto:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos (onde
pode ter máximos ou mínimos), igualamos a derivada a zero:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Isolando
:
Passo 4
Agora, vamos verificar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo. Para isso, calculamos a segunda derivada de
em relação a
:
Como
é positivo no intervalo
, temos:
Isso significa que o ponto crítico encontrado é um ponto de máximo.
Passo 5
Para encontrar o ponto de mínimo, precisamos avaliar os extremos do intervalo de
, ou seja,
e
.
Comparando os valores de
com
:
- Se
, o mínimo ocorre em . - Se
, o mínimo ocorre em .
Resposta
O ângulo
que satisfaz
é um ponto de máximo para
. O valor mínimo de
ocorre em
se
ou em
se
.
Exercícios relacionados
Análogo ao anterior.
não tem pontos críticos, sendo sempre crescente.
Pontos críticos em
e
. O primeiro é de máximo relativo e os outros dois são de mínimo absoluto:
. Não há máximo absoluto, pois
. A função é crescente em
e decrescente em
e
.
Pontos críticos em
(de mínimo absoluto) e
(de máximo relativo).
é crescente em
decrescente em
e
.