donde obtemos: e para . Assim, o ângulo tal que sen é ponto de máximo. O mínimo deve ocorrer em ou ; ocorrerá em se e em se .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma expressão para que depende de um ângulo :
Queremos encontrar o valor de que minimiza ou maximiza . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para analisar o comportamento dessa função.

Passo 2

O próximo passo é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Derivando a expressão dada:
Calculando cada derivada separadamente:
Portanto:

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos (onde pode ter máximos ou mínimos), igualamos a derivada a zero:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Isolando :

Passo 4

Agora, vamos verificar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo. Para isso, calculamos a segunda derivada de em relação a :
Como é positivo no intervalo , temos:
Isso significa que o ponto crítico encontrado é um ponto de máximo.

Passo 5

Para encontrar o ponto de mínimo, precisamos avaliar os extremos do intervalo de , ou seja, e .
Comparando os valores de com :
  • Se , o mínimo ocorre em .
  • Se , o mínimo ocorre em .

Resposta

O ângulo que satisfaz é um ponto de máximo para . O valor mínimo de ocorre em se ou em se .

Exercícios relacionados

Análogo ao anterior. não tem pontos críticos, sendo sempre crescente.
Pontos críticos em e . O primeiro é de máximo relativo e os outros dois são de mínimo absoluto: . Não há máximo absoluto, pois . A função é crescente em e decrescente em e .
Pontos críticos em (de mínimo absoluto) e (de máximo relativo). é crescente em decrescente em e .