t = (A B cos(theta) / v) + (theta A B / V), 0 <= theta <= (pi / 2)
donde obtemos: d t / d θ = A B / V - A B / v sen θ = 0 ↔ sen θ = v / V e d^2t/dθ^2 = -1/v AB cos(θ) < 0 para 0 < theta < pi/2. Assim, o ângulo theta_0 tal que sen theta_0 = v / V é ponto de máximo. O mínimo deve ocorrer em theta = 0 ou theta = pi / 2; ocorrerá em theta = 0 se v/V > 2/pi e em theta = pi / 2 se v/V < 2/pi.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma expressão para que depende de um ângulo :
Queremos encontrar o valor de que minimiza ou maximiza . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para analisar o comportamento dessa função.

Passo 2

O próximo passo é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Derivando a expressão dada:
Calculando cada derivada separadamente:
Portanto:

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos (onde pode ter máximos ou mínimos), igualamos a derivada a zero:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Isolando :

Passo 4

Agora, vamos verificar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo. Para isso, calculamos a segunda derivada de em relação a :
Como é positivo no intervalo , temos:
Isso significa que o ponto crítico encontrado é um ponto de máximo.

Passo 5

Para encontrar o ponto de mínimo, precisamos avaliar os extremos do intervalo de , ou seja, e .
Comparando os valores de com :
  • Se , o mínimo ocorre em .
  • Se , o mínimo ocorre em .

Resposta

O ângulo que satisfaz é um ponto de máximo para . O valor mínimo de ocorre em se ou em se .

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