E and F são campos vetoriais dados por E = 2 x a_x + a_y + y z a_z e F = x * y * a_x - y^2 * a_y x y z a_z. Determine:
(a) E_|at (1, 2, 3)
(b) The component of E along F at (1, 2, 3)
© A vector perpendicular to both E and F at (0, 1, -3) whose magnitude is unity

Passo 1

Vamos resolver as partes (a), (b) e © do exercício envolvendo os campos vetoriais E e F. Vamos precisar usar conceitos de avaliação de campos vetoriais em pontos específicos, produto escalar para encontrar componentes de vetores ao longo de outros vetores, e produto vetorial para encontrar vetores perpendiculares. Além disso, precisaremos normalizar vetores para obter vetores unitários.

Passo 2

Parte (a): Para determinar E no ponto (1, 2, 3), substituímos x = 1, y = 2 e z = 3 na expressão de E.
Substituindo:

Passo 3

Parte (b): Queremos encontrar a componente de E ao longo de F no ponto (1, 2, 3). A fórmula para a componente de E ao longo de F é:
Primeiro, vamos encontrar F no ponto (1, 2, 3):
Substituindo:
Agora, calculamos o produto escalar :
O módulo de F é:
Então, a componente de E ao longo de F é:

Passo 4

Parte ©: Queremos encontrar um vetor perpendicular a ambos E e F no ponto (0, 1, -3) com magnitude unitária. Para isso, usamos o produto vetorial .
Primeiro, avaliamos E e F no ponto (0, 1, -3):
Agora, calculamos o produto vetorial:
O vetor resultante é . Para obter um vetor unitário, dividimos esse vetor pelo seu módulo:
á

Resposta

(a) E_| em (1, 2, 3) é
(b) A componente de E ao longo de F em (1, 2, 3) é
© Um vetor perpendicular a ambos E e F em (0, 1, -3) com magnitude unidade é

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