O valor médio de uma função numa região pode ser calculado por
A temperatura numa placa resfriada é dada por em graus Celsius, calcule sua temperatura média.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a temperatura média numa placa retangular onde a temperatura está dada pela função . Para isso, vamos usar a fórmula do valor médio de uma função em uma região, que envolve calcular uma integral dupla dividida pela área da região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que vamos usar:
Á
Aqui, é a temperatura média, é a integral dupla da função sobre a região , e Á é a área da região .

Passo 3

Vamos calcular a Área da região . Como é um retângulo, a área é simplesmente a largura vezes a altura:
Á

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral dupla da função sobre . Como é retangular, podemos separar a integral em duas integrais simples:
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 5

Calculando cada parte da integral interna:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Agora, juntando os resultados das integrais internas:
Vamos resolver essa integral em relação a :
Calculando no intervalo de 1 a 3:

Passo 7

Agora que temos a integral dupla igual a 27,2, vamos calcular a temperatura média usando a fórmula inicial:

Resposta

A temperatura média na placa é 3,4 °C.

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and são campos vetoriais dados por e . Determine:
(a) at
(b) The component of along at
© A vector perpendicular to both and at whose magnitude is unity
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