O valor médio de uma função f numa região R pode ser calculado por
barf=integral duplaR f(x, y) d AArea(R)
A temperatura numa placa resfriada R=[1,3] times[1,5] é dada por f(x, y)=y+x y^-2 em graus Celsius, calcule sua temperatura média.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a temperatura média numa placa retangular onde a temperatura está dada pela função . Para isso, vamos usar a fórmula do valor médio de uma função em uma região, que envolve calcular uma integral dupla dividida pela área da região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que vamos usar:
barf = integral duplaR f(x, y) , dAÁrea(R) Á
Aqui, é a temperatura média, é a integral dupla da função sobre a região , e Á é a área da região .

Passo 3

Vamos calcular a Área da região Área(R) = (3 - 1) times (5 - 1) = 2 times 4 = 8 . Como é um retângulo, a área é simplesmente a largura vezes a altura:
Á

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral dupla da função integral duplaR f(x, y) , dA = integral1^3 integral1^5 ( y + xy^2 ) dy , dx sobre integral1^5 y , dy + integral1^5 xy^2 , dy . Como é retangular, podemos separar a integral em duas integrais simples:
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 5

Calculando cada parte da integral interna:
  1. Para integral y , dy = 12 y^2 |1^5 = 12 (25 - 1) = 242 = 12 :
integral xy^2 , dy = x integral y^-2 , dy = x ( -1y ) |1^5 = x ( -15 + 1 ) = x ( 45 ) = 4x5
  1. Para :

Passo 6

Agora, juntando os resultados das integrais internas:
integral duplaR f(x, y) , dA = integral1^3 ( 12 + 4x5 ) dx
Vamos resolver essa integral em relação a integral ( 12 + 4x5 ) dx = 12x + 45 cdot 12 x^2 |1^3 = 12x + 25 x^2 |1^3 :
( 12 times 3 + 25 times 9 ) - ( 12 times 1 + 25 times 1 ) = (36 + 185) - (12 + 25) = 36 + 3,6 - 12 - 0,4 = 27,2
Calculando no intervalo de 1 a 3:

Passo 7

Agora que temos a integral dupla igual a 27,2, vamos calcular a temperatura média usando a fórmula inicial:
barf = 27,28 = 3,4 , °C

Resposta

A temperatura média na placa é 3,4 °C.

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