O valor médio de uma função numa região pode ser calculado por
A temperatura numa placa resfriada é dada por em graus Celsius, calcule sua temperatura média.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a temperatura média numa placa retangular onde a temperatura está dada pela função . Para isso, vamos usar a fórmula do valor médio de uma função em uma região, que envolve calcular uma integral dupla dividida pela área da região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que vamos usar:
Aqui, é a temperatura média, é a integral dupla da função sobre a região , e é a área da região .
Passo 3
Vamos calcular a Área da região . Como é um retângulo, a área é simplesmente a largura vezes a altura:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral dupla da função sobre . Como é retangular, podemos separar a integral em duas integrais simples:
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Passo 5
Calculando cada parte da integral interna:
Para :
Para :
Passo 6
Agora, juntando os resultados das integrais internas:
Vamos resolver essa integral em relação a :
Calculando no intervalo de 1 a 3:
Passo 7
Agora que temos a integral dupla igual a 27,2, vamos calcular a temperatura média usando a fórmula inicial: