Calcule a integral
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular uma integral dupla:
Conteúdo envolvido: Integração dupla em cálculo, mudança de ordem de integração e substituição. Vamos precisar entender como alterar a ordem de integração para simplificar a resolução e utilizar a técnica de substituição para integrar funções compostas.
Passo 2
Vamos começar analisando a ordem das integrais. A integral está configurada para integrar primeiro em relação a
de
até
, e depois em relação a
de 0 até
. Para facilitar, vamos trocar a ordem das integrais.
Teoria aplicada: Ao trocar a ordem de integração em uma integral dupla, redefinimos os limites de integração com base na nova variável de integração. Isso muitas vezes simplifica o cálculo.
Passo 3
Desenhando a região de integração no plano
, vemos que
varia de 0 a
e, para cada
,
varia de
a
. Ao trocar a ordem,
varia de 0 a
e, para cada
,
varia de 0 a
.
Portanto, a integral se torna:
Passo 4
Agora, observamos que a função
não depende de
. Então, podemos simplificar a integral em relação a
:
Teoria aplicada: Quando a função a ser integrada não depende da variável de integração, ela pode ser tratada como uma constante multiplicadora.
Passo 5
Substituindo de volta na integral, temos:
Agora, vamos resolver essa integral.
Passo 6
Para resolver
, usamos a técnica de substituição.
Teoria aplicada: A substituição é uma técnica de integração onde fazemos uma mudança de variável para simplificar a integral. Escolhemos uma parte da integral para substituir por uma nova variável
.
Escolhemos:
Passo 7
Com a substituição, a integral fica:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, voltamos à variável original
:
Como estamos calculando uma integral definida, aplicamos os limites de integração.
Passo 9
Os limites de integração para
são:
Então, avaliando a integral definida:
Resposta
A integral dupla vale 1.
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(a)
(b) The component of
© A vector perpendicular to both
(a) Prove that
and
are unit vectors in the
-plane respectively making angles
and
with the
-axis.
(b) By means of dot product, obtain the formula for . By similarly formulating
and
, obtain the formula for
.
© If is the angle between
and
, find
in terms of
.
(b) By means of dot product, obtain the formula for
© If
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.