Calcule a integral

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular uma integral dupla:
Conteúdo envolvido: Integração dupla em cálculo, mudança de ordem de integração e substituição. Vamos precisar entender como alterar a ordem de integração para simplificar a resolução e utilizar a técnica de substituição para integrar funções compostas.

Passo 2

Vamos começar analisando a ordem das integrais. A integral está configurada para integrar primeiro em relação a de até , e depois em relação a de 0 até . Para facilitar, vamos trocar a ordem das integrais.
Teoria aplicada: Ao trocar a ordem de integração em uma integral dupla, redefinimos os limites de integração com base na nova variável de integração. Isso muitas vezes simplifica o cálculo.

Passo 3

Desenhando a região de integração no plano , vemos que varia de 0 a e, para cada , varia de a . Ao trocar a ordem, varia de 0 a e, para cada , varia de 0 a .
Portanto, a integral se torna:

Passo 4

Agora, observamos que a função não depende de . Então, podemos simplificar a integral em relação a :
Teoria aplicada: Quando a função a ser integrada não depende da variável de integração, ela pode ser tratada como uma constante multiplicadora.

Passo 5

Substituindo de volta na integral, temos:
Agora, vamos resolver essa integral.

Passo 6

Para resolver , usamos a técnica de substituição.
Teoria aplicada: A substituição é uma técnica de integração onde fazemos uma mudança de variável para simplificar a integral. Escolhemos uma parte da integral para substituir por uma nova variável .
Escolhemos:

Passo 7

Com a substituição, a integral fica:
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, voltamos à variável original :
Como estamos calculando uma integral definida, aplicamos os limites de integração.

Passo 9

Os limites de integração para são:
Então, avaliando a integral definida:

Resposta

A integral dupla vale 1.

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