If
is the position vector of the point
and
is a constant vector, show that:
(a)
is the equation of a constant plane
(b)
is the equation of a sphere
(a)
(b)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um vetor posição
e um vetor constante
. Precisamos mostrar que:
(a) A equação
representa um plano constante.
(b) A equação
representa uma esfera.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar, e as formas padrão das equações de um plano e de uma esfera no espaço tridimensional.
Passo 2
Parte (a): Vamos começar verificando se
é a equação de um plano.
Primeiro, lembramos que a equação geral de um plano é dada por:
onde
é um vetor normal ao plano e
é um ponto no plano.
No nosso caso,
tem a mesma estrutura, onde:
-
(vetor normal) -
(ponto no plano)
Isso confirma que a equação dada representa um plano constante com vetor normal
passando pelo ponto
.
Passo 3
Parte (b): Agora, vamos mostrar que
é a equação de uma esfera.
Vamos expandir a expressão:
Sabemos que
, e
.
Então, a equação fica:
Podemos rearranjar os termos:
Para completar o quadrado em cada variável:
Esta é a equação padrão de uma esfera com centro em
e raio
.
Resposta
(a) A equação
representa um plano constante com vetor normal
.
(b) A equação
representa uma esfera com centro em
e raio
.
Exercícios relacionados
Show that the dot and cross in the triple scalar product may be interchanged, i.e.,
.
Points
, and
form a triangle in space. Calculate the area of the triangle.
(a) Prove that
and
are unit vectors in the
-plane respectively making angles
and
with the
-axis.
(b) By means of dot product, obtain the formula for . By similarly formulating
and
, obtain the formula for
.
© If is the angle between
and
, find
in terms of
.
(b) By means of dot product, obtain the formula for
© If
(a)
(b) The component of
© A vector perpendicular to both