If is the position vector of the point and is a constant vector, show that:
(a) is the equation of a constant plane
(b) is the equation of a sphere

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um vetor posição e um vetor constante . Precisamos mostrar que:
(a) A equação representa um plano constante.
(b) A equação representa uma esfera.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar, e as formas padrão das equações de um plano e de uma esfera no espaço tridimensional.

Passo 2

Parte (a): Vamos começar verificando se é a equação de um plano.
Primeiro, lembramos que a equação geral de um plano é dada por:
onde é um vetor normal ao plano e é um ponto no plano.
No nosso caso, tem a mesma estrutura, onde:
  • (vetor normal)
  • (ponto no plano)
Isso confirma que a equação dada representa um plano constante com vetor normal passando pelo ponto .

Passo 3

Parte (b): Agora, vamos mostrar que é a equação de uma esfera.
Vamos expandir a expressão:
Sabemos que , e .
Então, a equação fica:
Podemos rearranjar os termos:
Para completar o quadrado em cada variável:
Esta é a equação padrão de uma esfera com centro em e raio .

Resposta

(a) A equação representa um plano constante com vetor normal .
(b) A equação representa uma esfera com centro em e raio .

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(a) Prove that and are unit vectors in the -plane respectively making angles and with the -axis.
(b) By means of dot product, obtain the formula for . By similarly formulating and , obtain the formula for .
© If is the angle between and , find in terms of .
and são campos vetoriais dados por e . Determine:
(a) at
(b) The component of along at
© A vector perpendicular to both and at whose magnitude is unity