(a) Prove that
and
are unit vectors in the
-plane respectively making angles
and
with the
-axis.
(b) By means of dot product, obtain the formula for
. By similarly formulating
and
, obtain the formula for
.
© If
is the angle between
and
, find
in terms of
.
(b) By means of dot product, obtain the formula for
© If
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício dividido em três partes que envolve vetores no plano
. A gente vai trabalhar com unidades vetoriais, ângulos e produto escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar vetores usando senos e cossenos, calcular magnitudes, e usar o produto escalar para encontrar relações entre os ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que os vetores
e
são vetores unitários no plano
e que eles fazem ângulos
e
com o eixo
, respectivamente.
Um vetor unitário tem magnitude igual a 1. A forma geral de um vetor no plano
que faz um ângulo
com o eixo
é:
onde
e
são os vetores unitários nas direções dos eixos
e
, respectivamente.
Vamos verificar para
:
A magnitude de
é:
Então,
é um vetor unitário.
O ângulo que
faz com o eixo
é
, já que a componente
é
e a componente
é
.
De forma similar, para
:
E sua magnitude:
Então,
também é um vetor unitário e faz um ângulo
com o eixo
.
Passo 3
Agora, vamos usar o produto escalar para encontrar a fórmula de
, e depois
.
O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
onde
é o ângulo entre
e
.
Como
e
são vetores unitários (
), temos:
Vamos calcular
usando suas componentes:
Pela fórmula do cosseno da diferença de ângulos:
Então, concluímos que:
Para encontrar
, usamos a fórmula do cosseno da soma de ângulos:
Se formos ajustar os vetores ou considerar uma propriedade similar, podemos relacionar isso ao produto escalar com uma fase diferente, mas geralmente, para esta parte, você utiliza diretamente a fórmula trigonométrica.
Passo 4
Por fim, vamos encontrar
em termos do ângulo
entre
e
.
Primeiro, calculamos a magnitude de
:
Expandindo o produto escalar:
Como
e
são unitários:
Portanto:
Logo:
Resposta
Exercícios relacionados
If
is the position vector of the point
and
is a constant vector, show that:
(a) is the equation of a constant plane
(b) is the equation of a sphere
(a)
(b)
Show that the dot and cross in the triple scalar product may be interchanged, i.e.,
.
(a)
(b) The component of
© A vector perpendicular to both
Calcule a integral