(a) Prove that and are unit vectors in the -plane respectively making angles and with the -axis.
(b) By means of dot product, obtain the formula for . By similarly formulating and , obtain the formula for .
© If is the angle between and , find in terms of .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício dividido em três partes que envolve vetores no plano . A gente vai trabalhar com unidades vetoriais, ângulos e produto escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar vetores usando senos e cossenos, calcular magnitudes, e usar o produto escalar para encontrar relações entre os ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que os vetores e são vetores unitários no plano e que eles fazem ângulos e com o eixo , respectivamente.
Um vetor unitário tem magnitude igual a 1. A forma geral de um vetor no plano que faz um ângulo com o eixo é:
onde e são os vetores unitários nas direções dos eixos e , respectivamente.
Vamos verificar para :
A magnitude de é:
Então, é um vetor unitário.
O ângulo que faz com o eixo é , já que a componente é e a componente é .
De forma similar, para :
E sua magnitude:
Então, também é um vetor unitário e faz um ângulo com o eixo .

Passo 3

Agora, vamos usar o produto escalar para encontrar a fórmula de , e depois .
O produto escalar de dois vetores e é dado por:
onde é o ângulo entre e .
Como e são vetores unitários ( ), temos:
Vamos calcular usando suas componentes:
Pela fórmula do cosseno da diferença de ângulos:
Então, concluímos que:
Para encontrar , usamos a fórmula do cosseno da soma de ângulos:
Se formos ajustar os vetores ou considerar uma propriedade similar, podemos relacionar isso ao produto escalar com uma fase diferente, mas geralmente, para esta parte, você utiliza diretamente a fórmula trigonométrica.

Passo 4

Por fim, vamos encontrar em termos do ângulo entre e .
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Expandindo o produto escalar:
Como e são unitários:
Portanto:
Logo:

Resposta

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If is the position vector of the point and is a constant vector, show that:
(a) is the equation of a constant plane
(b) is the equation of a sphere
Show that the dot and cross in the triple scalar product may be interchanged, i.e., .
and são campos vetoriais dados por e . Determine:
(a) at
(b) The component of along at
© A vector perpendicular to both and at whose magnitude is unity
Calcule a integral